毛主席语录 自然科学是人们争取自由的一种武装。人们 为着要在社会上得到自由，就要用社会科学来了 解社会，改造社会进行社会革命。人们为着要在 自然界里得到自由，就要用自然科学来了解自然， 克服自然和改造自然，从自然里得到自由。 ==========第1页========== 《青年自学丛书》编辑说明 毛主席教导我们：“知识青年到农村去，接受贫下中农的再教育，很有必要。”几年来，成千上万的知识青年，响应毛主席的伟大号召，满怀革命豪情，奔赴祖国的农村和边疆。他们认真读马、列的书，读毛主席的书，积极投入批林整风，朝气蓬勃地战斗在三大革命运动的第一线，坚定地走同工农相结合的道路，对建设社会主义新农村作出了贡献，阶级斗争和路线斗争的觉悟有了很大提高。无产阶级英雄人物不断涌现，一代革命青年正在茁壮成长。这是毛主席革命路线的伟大胜利。 按照毛主席关于“要关怀青年一代的成长”的教导，为了适应广大下乡上山知识青年自学的需要，特编辑、出版这套《青年自学丛书》。丛书以马列主义、毛泽东思想为指导，内容包括哲学、社会科学、自然科学的一些基本知识和鲁迅作品选。我们希望，这套丛书的出版，能对下乡上山知识青年的学习起积极作用，有助于他们进一步提高路线斗争觉悟、政治理论水平和文化科学水平，在又红又专的道路上阔步前进，更好地适应建设社会主义新农村和各项事业发展的需要。 我们对大力支持这套丛书的出版工作的有关单位和作者，表示衷心的感谢，并欢迎广大读者对这套丛书提出意见和批评，以便改进。 上海人，收版社 一九七三年四月 ==========第2页========== 编者的话 为了帮助广大知识青年学习初等数学知识，我们编写了《代数》与《几何》这两本书， 《代数》包括代数方程、指数、对数、三角函数等知识，同时也介绍了数列、排列组合、复数等内容.《几何》的前半部分介绍了三角形（包括边角计算）和圆，后半部分则属于平面解析几何的内容. 这两本书是互有联系的，必须配合使用.譬如，可以按照下面的顺序进行自学：先学习《代数》的前四章，再《几何》的前 四章，然后《代数》的后五章，最后学习《几何》的后五章 由于我们的思想水平不高，实践经验又不足，书中一定有许多缺点和错误，请读者批评指正 《初等数学》编写组1973年8月 ==========第3页========== 目 录 第一章儿何的初步知识……………1 第一节几何的研究对象 一、形的概念(1)二、常见的一些几何图形(2)习题(13) 第二节几何中的推理论证…15 一、推理方法(15)二、理论和实践的统一(18)习题(19) 第二章三角形………21 第一节三角形三内角的和与勾股定理…22 一、三角形三内角的和(22)二、勾股定理(26小结(29)习题(29) 第二节全等三角形……32 一、全等三角形的判定32)二、等腰三角形(40)小结(46)习题(47) 第三节相似三角形……51 一、相似三角形的判定51)二、应用举例(55)小结(60)习题(61) 复习题… …63 第三章三角形的边角计算…………66 第一节直角三角形的边角计算…66 一、直角三角形的边角分析(66)二、正弦和余弦(69)三、正切(73)四、解直角三角形的应用举例(75)五、三角比之间的关系(78)小结(81)习题i82) 第二节一般三角形的边角计算…… …85 一、正弦定理(86)二、余弦定理(88) 三、应用举例(90) 小结(9)j题(97) 复习题…4…99 6一 ==========第4页========== 第四章圆……103 第一节圆内的角和弦 …103 一、弦和直径(104) 二、圆心角和圆周角(106) 小结(110) 习题(110) 第二节直线与圆弧、圆弧与圆弧的连接 .111 一、直线与圆相切圆与圆相切(112)二、直线与圆弧的连接(119)三、圆弧与圆弧的连接(122)小结(124)习题(124) 第三节弧长和弧度制…127 一、圆周长弧长(127)二、孤度制(129)小结(132)习题(133)第四节圆的面积… …131 一、圆和扇形的面积(134)二、展开图的面积(137)习题(149)复习题… …150 第五章直线和圆的方程…………………153 第一节点和坐标…154 -、距离公式(154)二、定比分点公式(156)三、坐标轴的平移移轴公式(158)小结(161)习题(162) 第二节曲线和方程…163 一、曲线和方程(163) 二、圆的方程(166) 小结(171) 习题(171) 第三节直线的方程 …173 一、直线的方程(173)二、一次方程与直线(177)小结(178)习题(179) 第四节直线和直线、直线和圆的位置关系…180 一、两直线的交角及平行、垂直条件(181)二、直线和圆的相交、相切(185)三、点到直线的距离(188)小结(190)习题(191)复习题…19第六章抛物线椭圆双曲线…196 第一节抛物线 .96 一、抛物线的定义和标准方程(197)二、抛物线的图形(198) 三、抛物线的光学性质(202)四、y=:2+c+c的图形(206) 五、用待定系数法求抛物线方程(208)小结(210)习题(211) 一7一 ==========第5页========== 第二节椭圆……212 一、椭圆的定义和标准方程(212)二、椭圆的图形(215)小结(219)习题(220) 第三节双曲线… ●。。▣，。egee。。，g年e。e■。。eg。。。。。，。w90年e 一、双曲线的定义和标准方程(221) 二、双曲线的图形(222) 小结(229)习题(229)复习题… …230 第七章极坐标与参数方程 ……232 第一节极坐标…232 一、极坐标系(232)二、曲线的极坐标方程(234)三、等速螺线和凸轮(238)四、极坐标与直角坐标的互换(242)小结(245)习题(245) 第二节参数方程…247 一、曲线的参数方程(24)二、渐开线和摆线(253)小结(256)习题(257) 复习题 …258 第八章坐标变换与二次曲线……………260 第…节坐标变换…260…、移轴(260) 、转轴(261) 三、一般坐标变换(263) 四、曲线方程变形举例(264)第二节二次曲线… 267 一、二次曲线一般方程的化简(268)二、二次曲线的分类(272) 三、二次曲线类型的判定(275)习题277) 第九章初等数学应用选编……279 一、五角星商法(279)二、圆形直角弯管的展开图画法282) 三、正多边形切削的数学原理(28)四、三角活塞旋转式发动机的缸体型线(289)五、圆弧凸轮(294)六、简单的线性规划问题(298)七、优选法(305) 8 ==========第6页========== 第一章几何的初步知识 第一节儿何的研究对象 一、形的概念 恩格斯说：“和数的概念一样，形的概念也完全是从外部世界得来的，而不是在头脑中由纯粹的思维产生出来的。必须先存在具有一定形状的物体，把这些形状加以比较，然后才能构成形的概念。”① 人们在生产实践中，接触到各种各样的物体.每种物体都有一定的形状，还有颜色、质料、硬度、重量等其他属性.所有这些属性，都需要分门别类地加以研究.当我们考察物体的形状，即其空间形式时，就把物体的其他属性暂时撇开，而只是把它们的形状拿来比较，概括其共性，从而得到反映物体空间形式的几何图形.譬如，不论是瓷杯，玻璃杯，还是塑料杯，它们的杯口都是圆形的；不论是木球，皮球，还是铅球，它们都是球形的.这里，圆和球都是几何图形 几何学从空间关系出发，通过研究几何图形的内部规律性，解决实践中遇到的有关形的问题， 例如建造房屋时，要设计屋架的形状.许多屋架的形状如图1-1所示.下面一根梁叫做下弦杆，中间一根柱叫做中柱.在实践中常遇到这样的问题 ①恩格斯：《反杜林论》，人民出版社1970年版，第35页. ==========第7页========== 下弦杆 图1-1 图1-2 已知下弦杆和中柱的长度，要求屋架中其他杆的长度.为了研究的方便，我们用线段表示杆，从而把屋架的形状抽象成如图1-2所示的几何图形.这样，刚才提出的实际问题就转化为已知两线段长度？和，求另外三线段长度心、y和名， 为了求、y和名，可以使用判断和推理的方法，来分析图1-2中各线段的内在联系，找出它们长度间的关系，然后利用这些关系算出、y和名 求出c、则和：后，把这些结果用到实际中去，就解决了屋架设计的这个问题. 几何学的研究就是这样遵循“实践—理论一实践“的道路前进的 二、常见的一些几何图形 下面介绍一些常见的简单的几何图形任何一个几何图形都是由 点 面、线、点组成的，面、线、点叫做 线 面 儿何的基本元素.例如长方体，它的表面就是面，面与面相交的地方就是线，线与线相交的地方就是点（图1-3）. 图1-3 ー2 ==========第8页========== 由这些基本元素构成的简单儿何图形有直线、角、平行线、三角形和长方体等. 1.直线 如长方体的边沿、书本的边沿、一段拉直的电线等等，它们都是有两个端点的线，这种线叫做线段 把线段向一方无限延长就叫做射线，射线只有一个端点，例如探照灯发出的光线就是射线 把线段向两方无限延长就叫做直线，直线是没有端点的.人们通过实践认识到，过两点能够作也只能够作一条直线，也就是说，直线的位置由它上面任意两点的位置所确定，即两点决定一直线 对于线段，我们把它的端点用两个大写字母例如A、B 表示，并把这条线段记作AB,或用一个小写字母（表示（图 1-4). B 图1-4 图1-5 对于射线，如把它的一个端点记作A,再在射线上任意 取一点X,则这条射线可记作AX(图1-5). 对于直线，可在其上任意取两点M、N,记这直线为MN (图1-6). 长度单位 1厘米 B 图1-6 图1-7 因为线段有两个端点，它是界于两个端点间的部分，所以它有一·定的长度、要度量-…条线段的长度，需要选定一种长 ==========第9页========== 度单位.比如选1厘米做长度单位，用它去度量线段AB,如 果刚好是1厘米的4倍，那么这条线段AB就有4厘米长（图 1-7). 2.角 角是简单的直线图形，图1-2中屋架的各根杆之间都形成了角.又如时钟的长、短针之间也形成了角 一般地，从一点引出两条射线所组成的图形就是角.引出射线的点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边.如图1-8， 角由射线OA和OB组成，O点是角的顶点，这个角记为 ∠AOB或∠BOA,读作“角AOB”或“角BOA”.在不会与其 他角混淆的情况下，可简记为∠O.有时，为了方便起见，在 角里注上数字或小写希腊字母，如图1-9中所示的角，可分别记作∠1，∠2，∠a,∠B. C B B 图1-8 图1-9 角也可以看成由一条射线绕它的端点旋转而得到.如图 1-10中，一条射线绕着端点O,从OA位置转到OB位置，形 成了角∠AOB B 平角 周角 B 0 (甲) (乙) 图1-10 图1-11 ==========第10页========== 特别，若射线OA绕端点O旋转到OB,当OA、OB形成 反向射线时（图1-11（甲）)，∠A0B叫做平角；继续转下去， 使OB回到原来位置OA(图1-11（乙）)，形成的角叫做周角. 度量一个角的大小与度量一条线段的长短一样，需要选 度量单位.把一个周角分成360等分，这周角的 我们称为1度，记为1°；把1°分成60等分，这1°角的 0称为1分，记为，起1Y分成60等分，这1r角的品称为1秒，记为1”.如24度13分6秒可记为24°13'6. 这样，周角就等于360°；平角是周角的一半，等于180°.通常，我们是用量角器来度量角的大小的.如图1-12，把量角器上的圆心和角的顶点重合，并使量角器上0°的刻线对准角的一边.这时，角的另一条边在量角器上所对的读数 就是这个角的度数.如图1-12中，∠A0B=50° 我们把平角的一半也就是90°的角叫做直角，把小于90°的角叫做锐角，大于90°而小于180°的角叫做钝角 010100100.10f120 7060 图1-12 图1-13 形成直角的两边叫做互相垂直.一般地说，当两条直线夹成直角时，这两条直线的位置关系叫做互相垂直，其中一条 叫另一条的垂线，交点叫垂足.如图1-13中，AB与CD垂 5 ==========第11页========== 直，就记为AB⊥CD或CD LAB.记号“L”读作“垂直于”， 建筑施工中定出的水平线与铅直线，机械加工中在工件上划出的十字线，都是互相垂直的直线，因而形成的角都是直角. 如果两只角的和等于90°，就称这两只角互为余角.如图1-14中∠1和∠2互为余角.如果两只角的和等于180°，就称这两只角互为补角.如图1-15中的∠a和∠B互为补角.例如，52°10'的余角为90°-52°10'=3750'，而补角为180°-62°10'=127°50'， 图1-14 图1-15 如果两条直线相交，它们形成四个角∠1，∠2，∠3，∠4(图1-16)，我们把其中的∠1和！∠2叫做对顶角，同样∠3和∠4也是对顶角. 3 12 4 从图1-16直观地看到对顶角是相等的. 事实上，根据补角关系有 图1-16 ∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠3， 可知∠1，∠2都等于180°一∠3，所以∠1=∠2. 因此得到：凡对顶角都相等 几何中把通过实践总结出来或经过推理得到的图形的基本性质，通常叫做定理，象上面说的“凡对顶角都相等”就是条定理 6 ==========第12页========== 3.平行线 铁路上的两条笔直的铁轨，门的两条对边，都可以想象为无论怎样延长也不会相交的直线.在几何中，把同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线.若直线AB平行于CD,就记 为AB‖CD 劳动人民在长期实践中，不断总结经验，创造了许多画平行线的方法.例如，把扳成一定角度的活络角尺贴紧木板一边，从一个位置移到另一个位置，就能划出一条条平行的直线(图1-17).这种画法的特点，是活络角尺的角度始终不变，即∠1=∠2.由此可见，画出的直线1、2所以会平行，是与角度∠1利∠2的相等分不开的. 115 37 26 图1-17 图1-18 -一般地，两直线1、2被第三条直线所截，构成八只角(图1-18).我们称∠1和∠2，∠3和∠4，∠6和∠6，∠7和∠8为同位角；∠2和∠7，∠3和∠6为内错角 用活络角尺画平行线的事实告诉我们，两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，这两条直线就一定平行.我们把这条判定两直线平行的重要方法简单叙述为 定理同位角相等，则两直线平行， 反过来，如果两条平行直线被第三条直线所截，同位角一 ==========第13页========== 定相等.我们也可以简单叙述为 定理两直线平行，测同位角相等. 上述定理中的同位角还可以换为内错角.在图1-18中，根据对顶角相等的定理，∠1=∠7.于是，出∠1=∠2可推知∠7=∠2.因此，可以建立反映平行线与内错角之间联系的两个定理. 定理内错角相等，则两直线平行定理两直线平行，则内错角相等. 4.三角形 三角形是研究一般儿何图形的基础，实际应用也最广泛. 三角形也叫三边形，它有三条边和三个角，三条边两两相交，它们的交点叫做三角形的顶点.每-·项点用一大写字母表示，如图1-19中 这个三角形可记为△ABC,读作 图1-19 “三角形ABC”,其中∠A对的边是BC,就称∠A是BC的 对角，或称BC是∠A的对边 三角形中任意两边的和一定大于第三边，否则就不能构成三角形、又三角形的三只角的和等于180°（理由将在第二章中介绍). 三角形除了以上最基本的性质外，它的面积的计算也是经常要用到的. 为了寻求三角形面积的计算公式，我们从计算正方形和长方形（又称矩形）的面积着手. 我们道，正方形的四边都相等，长方形的对边相等而长与宽是不相等的，它们的每一只角都是直角，图1-20（甲）是 正方形ABCD,(乙)是长方形ABCD.要度量正方形和长 ー8 ==========第14页========== 方形的面积，首先要给出-·个作为标准的面积单位.例如，选边长为1厘米的正方形作为面积单位，就记这个面积单位为1厘米8，读做1平方厘米”. B D D (甲) (乙) 图1-20 在图1-21中，（甲）是一个正方形，它的边长为3厘米，这个正方形的大小正好是面积单位的3×3=9倍，所以该正方形的面积是9厘米2；图1-21（乙）是一个长方形，长为4厘米，宽为2厘米，这个长方形的大小是面积单位的2×4=8倍，所以该长方形的面积为8厘米2. 十米画 面积单位 1厘米 一3厘米一 4厘米 (甲) (乙) 图1-21 一般，正方形和长方形的面积计算公式分别为 正方形面积=边长的平方，长方形面积=长×宽. 三角形的面积如何计算呢？ -9 ==========第15页========== 我们先讲直角三角形面积的计算方法.有-一只角是直角的三角形叫做直角三角形.夹直角的两条边叫做直角边.取 两个形状相同、大小相等的直角三角形ABC和ACD拼成如 图1-22中的长方形ABCD, 由于长方形ABCD的面积等于AB与BC的乘积，而 △ABC的面积是长方形ABCD面积的一半，因而 △ABC的面积-号(AB×BC). 也就是说，直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半. D 图1-22 图1-23 对于般的三角形，可以把它分成两个直角三角形（图1-23),于是 △ABC的面积 =△ADB的面积+△BDC的面积 是(AD×BD)+是(DC×BD) -号(AD+DC)×BD=是(4C×BD). 从三角形的顶点向对边作垂线，顶点到垂足的距离叫做 三角形在这条边上的高，相应地那条边叫做三角形的底.于是，三角形面积计算公式可写为 三角形的面积=2（底×高）. ==========第16页========== 5.圆 圆是常见的曲线图形.如果要在平面上画一个圆，可以 把圆规的一只脚固定在某点O,另一只脚绕它旋转一周，就 画出一个位置和大小完全确定的圆.从画圆的过程可以看 出，圆上每一点到定点O的距离都相等，这个距离？就是圆 的半径，而0是圆心（图1-24）.这就是说，固定了圆心，决定了半径的长度，圆就完全确定了，所以，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小， D 0 N 图1-24 图1-25 圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧.如图1-25 的AB弧，可记作AB 连接弧的两个端点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径 在图1-25中，AB是弦，MN是直径.显然，直径等于半径的 两倍。 在同圆内，两段相等的弧所对的弦也相等.反过来，等弦所对的弧也相等. 如在图1-25中，AB=CD,则AB=CD, 反之，若AB=CD,则AB=CD 工件轮廓线中转弯部分常常用圆弧连接，如图1-26 图1-26 ==========第17页========== 6,长方体 长方体是由六个两两平行的长方形的面围成的立体图形，六个面的交线形成十二根线段，这些线段的长度分三组，每组四根，各自相等，所以只要给出三个长度a、b、c(图1-27),长方体的大小就完全决定了，这三个长度称为长方体的长、宽、高， 当长、宽、高这三个长度都相等时，长方体便是一个正方体。 图1-27 长方体的表面积，是指围成它的六个长方形的面积的和，容易计算出表面积 S=2(ab+bc+ca). 下面讨论长方体的体积.若选边长为1厘米的正方体作为体积单位，就记这个体积单位为1厘米3，读作“1立方厘米”. 8厘米 体积单位 1厘米8 4厘米 图1-28 2一 ==========第18页========== 图1-28右方是一个长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方体，其大小恰好是体积单位的4×3×2=24倍，所以记这个长方体的体积为24厘米3. 一般，长方体的体积计算公式为 长方体体积=长×宽×高. 习 题 1.计算下列的值： (1)10°55+20°45： (2)25°-15°48'； (3)15°20″-10°40"： (4)5.25°-300”. 2.时钟在1时、2时、1时、5时，时针和分针构成多少度角，并指出这四个角度间有否互余或互补的关系. 3.怎样用三角板和直尺推平行线？为什么？ 4.在锥形工件断面图中，已知∠A=120°，求∠&， 120QA 2 {第4题) (第5题) 5.若图中∠1=110°、ABICD,求∠2 6.钳工要把角钢弯成120°的钢架，截去的缺口是几度？ 1200 40 (第6题) (第7题) ==========第19页========== 7.某零件的断面如图，内外壁都是长方形.已知外壁长40毫米，宽20毫米，壁厚为5毫米，求内壁的长和宽 8.某生产队由A点向B点修渠水（见图），水的流动由地面高低变 化决定，故有必要侧量A、B两点的高低.现用水准仪定出水平视 线1，在A、B处水准尺上测得高度依次为 AC=1.2米，BD=0.5米， 怎样求出B点与A点的高度差，为什么？ 米 米 米 10 B 6米 (第8题) (第9题) 9.某生产队仓库一侧的墙面如图所示， (1)求墙面的面积； (2)若每平方米需砌砖110块，砌这个墙需用砖多少块？ 10.在一块边长是40厘米的正方形铁皮的四角，各剪去一块边长为4厘米的小正方形，然后弯折起来做成一个盒子，求盒子的表面积和容积. 肠4厘米 0厘米一 (第10题) (第11题) 11.若图中，AD=DC,说明△ABD与△BDC的面积相等。 ー14ー ==========第20页========== 第二节几何中的推理论证 一、推理方法 毛主席教导我们：“要完全地反映整个的事物，反映事物的本质，反映事物的内部规律性，就必须经过思考作用，将丰富的感觉材料加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造制作工夫，造成概念和理论的系统，就必须从感性认识跃进到理性认识。”对几何图形的认识，也有一个从感性上升到理性的过程.几何中运用的逻辑推理方法，也正是在这个过程中形成的.我们常常在从特殊上升到一般、由简单深入到复杂、利用已有结果探寻新的结果等场合运用这种推理方法，以掌握图形内部规律性.恩格斯说：“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样”.①因此，在学习儿何的过程中，掌握一定的逻辑推理能力，是必要的 学习逻辑推理，先要分清证题中已知的“条件”是什么，待证的“结论”是什么，然后从条件出发应用已经掌握的图形性质，一步一步地推导出正确的结论来.比如前面讲的“凡对顶角都相等”这条定理，已知条件是两只角为对顶角，要证的结论是这两只角相等.我们是根据补角的概念以及等式关系推导出对顶角相等这条结论的.又如“内错角相等，则两直线平行”这条定理，已知条件是两直线被第三条直线所截，内错角相等，结论是这两条直线平行，这是根据“凡对顶角都相等”以及“同位角相等，则两直线平行”这两点性质推导出来的分清了证题的“条件”和“结论”，结合图形，可以把“条件” ①恩格斯：《反杜林论》，人民出版社1970年版，第132页， ー15 ==========第21页========== 写为“已知”，“结论”写为“求证”，然后把推证的步骤写成“证明”.例如，对于定理“凡对顶角都相等”，按图1-29所示，可写为 已知∠1和∠2为对顶角.求证∠1=∠2 证明.·∠1+∠3=180°， 图1-29 ∠1=180°-∠3（∠1，∠3互为补角）；∠2+∠3=180°， ∠2=180°-∠3（∠2，∠3互为补角），∠1=∠2（∠1，∠2都等于180°-∠3）. 对于定理“内错角相等，则两直线平行”，结合图1-30，可写为 已知 ∠1=∠2. 求证AB ICD 证明∠1=∠2（已知内错角相等)， ∠2=∠3（对顶角相等）， .∴.∠1=∠3（∠1，∠3都等于∠2）， AB‖CD(同位角相等，则两直线平行). 在着手证明之前，往往先要对证明的过程进行分析，因为证明的目的是从已知条件推断出求证结论，分析就从这两者的联系着手.例如要证明“内错角相等，则两直线平行时，我们已经知道“同位角相等，则两直线平行”，因此必须从已知 ∠1=∠2出发，找出两直线AB和CD的一对同位角相等，才 能说明结论AB‖CD成立.从图1-30可见，因对顶角相等， ∠2=∠3，于是就得到相等的同位角∠1=∠3，这样就建立了已知部分和求证部分的联系，我们就是按这个思路写出证明的步骤的.在证明过程中每一步骤都必须有充分的理由. -16 ==========第22页========== 2 -B D 图1-30 图1-31 再看下面一个例子.在图1-31中， 已知AB‖A'B,AC‖A'O”. 求证∠A=∠CA'B. 分析已知条件是平行线，求证结论是角相等.根据已有儿何知识，平行线与角可通过内错角或同位角联系起来.于 是，我们想到要作BA'的延长线A'D,这样，∠C”A'B与 ∠1，∠A与∠1都是同位角.再由“两直线平行，则同位角 相等，知∠CA'B与∠A都等于∠1，从而∠A=∠CA'B. 证明延长BA',则交AC于D, 。∠CA'B=∠1（两直线平行，则同位角相等）， ∠A=∠1（同上）， ..∠A=∠CA'B(两只角都等于∠1). 在“证明”部分，要求每一步都有充分的理由.这种理由，可以是学过的几何知识如概念、性质、定理，也可以是一些显而易见的理由、初学时，要求大家尽可能注明理由 今后，为了书写的方便，我们约定把下述与等式有关的理由，如 (1)等式变形； (2)如果a=b,c=b,那末a=c; 7 ==========第23页========== (3)如果a=b,c=化，那末a土c=b士d,等等，都简写为“等量关系” 在熟悉了这种推理方法之后，我们就不一定再按照固定的格式书写，只要从证题的条件出发，合理地推断出求证的结论即可. 二、理论和实践的统一 毛主席教导我们：“一切真知都是从直接经验发源的。”从几何学的形成和发展来看，人们首先通过测量、观察、实验等方法，取得处理几何问题的直接经验，进一步总结这些经验，包括运用推理方法，将丰富的感觉材料加以整理和改造，并经过实践的检验，得到人们对几何知识的比较系统的认识. 但是，唯心论的先验论者不是这样，他们认为纯数学产生于纯思维.在他们看来，只要在头脑里规定几条数学原则，就能用推理方法导出全部几何知识，并可运用于实践.这种说法，完全歪曲了几何学发展的历史，割断了几何学与实践的联系，抹杀了劳动人民创造几何学的作用.他们在竭力夸大儿何中形式逻辑作用的同时，甚至公开宣扬“数学的价值在于能够训练思维，因此必须不是为了应用，而是为了它的知识而去学它”.这样，就进一步赤裸裸地暴露了他们鼓吹“理论至上”，反对理论联系实际的真面目.他们安图把一个与社会实践紧密联系的生动活泼的几何学，变成从概念到概念、从定理到定理的数学游戏.我们必须深入批判他们在数学领域中散布的唯心主义和形而上学观点，用辩证唯物论指导我们的学习.毛主席教导我们：“最重要的，是善于将这些知识应用到生活和实际中去。”我们必须根据三大革命实践的需要，在学习过程中努力培养分析问题和解决问题的能力，坚决反对理 -18- ==========第24页========== 论脱离实际的错误倾向 割断几何与实践的联系，片面强调推理论证，夸大它的作用，处处追求所谓“严密论证”，那当然是错误的.但是，我们并不否定学习推理论证的重要性.在几何学从实践产生又服务于实践的过程中，推理方法确实在理性认识阶段发挥了作用.当我们把实际问题归结为一个几何问题后，也常常利用推理方法研究几何图形.恩格斯曾指出：“甚至形式逻辑也首先是探寻新结果的方法，由已知进到未知的方法”.①因此，结合几何学内容，学习和掌握推理方法还是必要的， 习 题 1.写出下列证题的“已知”和“求证”： (1)锐角的补角是钝角； (②)如果两直线都垂直于第三条直线，那末这两条直线平行； (3)直角三角形的两只锐角互为余角 2.用对顶量角器度量工件角度时，为什么读出∠COB的度数，就是 ∠A'0'D的度数？ (第2题) (第3题) 3.已知∠A0B,∠C0D都是直角，证明∠1=∠2 4.(1)若AB‖CD,求证： ∠1+∠2=180°，∠3=∠4； ①恩格斯：4反杜林论》，入民出版社1970年版，第132页. -19 ==========第25页========== (2)若∠1和∠2互补，求证AB‖CD. C 3 B E D 1K2 A D B (第4题) (第5题) 5.若图中CDLAB,∠EDC=∠FDC,求证∠1=∠2 6.图中∠A与∠B的两边分别平行，即AC1‖BD,AE BF,证明 ∠A=∠B, (第6题) -20 ==========第26页========== 第二章三角形 三角形是一种基本的儿何图形.在工农业生产中，形状为三角形的结构有着广泛的应用。例如，我们经常看到的架设高压输电线的铁塔，上面有许多由钢材交叉而成的三角形；又如，自行车架，房屋的人字架和起重机的吊架等都采用三角形的结构. 为什么在生产实践中广泛地采用三角形结构呢？ 毛主席教导我们：“一切真知都是从直接经验发源的。”三角形结构的广泛采用，就来源于人们的长期生产实践. 我们先来做一个实验：用木条钉一个三角形和一个四边形的架子，如果拉动这两个架子，就会发现三角形架子的形状始终不变，而四边形架子的形状可以改变.这个事实说明，三角形具有一种使结构不变的性质，我们把这种性质叫做三角形的稳定性，由于三角形具有稳定性，采用三角形结构，就能增加物体的坚固程度，而且又节约了材料，因此它在生产实践中被广泛地采用. 在日常生活中也经常应用到三角形的稳定性.例如，当我们坐的椅子摇晃时，只要在椅腿和椅板之间钉上一根木条，构成一个三角形，椅子就牢固了；当我们使用人字梯时，只要用铁钩把梯子两边连在一起，构成一个三角形，就能防止滑动，等等。 2一 ==========第27页========== 三角形除了它特有的稳定性之外，还具有哪些性质？在生产实践中还有哪些应用？这就是本章所要研究的主要问题. 第一节三角形三内角的和与勾股定理 三角形有三条边和三个角，要研究三角形的性质，首先考察三角形的三个角之间和三条边之间的内在联系. 一、三角形三内角的和 三角形的三个内角有什么联系呢？如果我们用硬纸片任意剪一个三角形，然后把其中的两个角剪下来和第三个角拼在一起，如图2-1所示，就会发现这三个角恰好构成一个平角.从这里，我们感性地认识到：三角形三个内角之和等于180°、这个结论是否具有普遍性呢？我们可以用推理的方法加以证明. E 12 图2-1 图2-2 定理三角形的三内角之和等于180°. 已知△ABC的三个内角∠A、∠B和∠C. 求证∠A十∠B+∠C=180°. 分析如果延长三角形的一边，例如在图2-2中延长BC 到D,那末∠ACD与内角∠ACB互为补角，它们的和等于 180”.要证明△ABC的三内角之和等于180°，只要证明 ∠A与∠B的和等于∠AC心D就可以了. -22- ==========第28页========== 证明延长BC到D,过C作CE‖BA, .·∠A=∠1（两直线平行，则内错角相等）， ∠B=∠2（两直线平行，则同位角相等）， .'.∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB =180°， 即 ∠A+∠B+∠C=180°. 在上面的证明过程中，我们在原来的图形上添作了BC 的延长线CD和平行于AB的直线CE,CD和CE叫做辅助 线.今后在解题和证题过程中，经常采用添辅助线的办法，把已知条件和未知结论联系起来，以促使未知向已知转化.辅助线通常画成虚线. 我们把三角形的一边和另-一边的延长线所组成的角（如 图2-2中的∠ACD)叫做三角形的一个外角.从上面的证 明可知 ∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B 由此得到三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和， [例1]飞机从A地飞往B地，因受侧风的影响，一开始 就偏离航线AB飞到了心点， A 如图2-3，已知偏航角∠A=7°， 偏离角∠B=9°，求修正角 ∠BCD 图2-3 解：∠BCD=∠A+∠B(三角形外角性质)，而 ∠A=7°，∠B=9°（已知），所以 ∠BCD=7°+9°=16°， ー-23 ==========第29页========== [例2]求四边形的四个内角之和 解：连对角线AC(图2-4)，把四边形ABCD分为两个 三角形ABC和ACD.于是四边形的 四个内角的和 D 2 ∠A+∠B+∠C+∠D =(∠1+.2十∠D) +(∠3+24十∠B) 3 =180°+180°=360°，[例3]求六角螺母的每个内角 图2-4 解：我们把各边都相等、各内角都相等的多边形叫做正多边形.六角螺母的正面图是一个正六边形 过六边形ABCDEF的一个顶 点A,作对角线AC、AD、AE,这样 就把这个六边形分为四个三角形： △ABC、△ACD、△ADE和△AEF (图2-5).这个六边形六个内角的 图2-5 和就是这四个三角形内角之和的总和。所以 六角螟母内角之和=4×180°=720°， 因为六角螺母六个内角都相等，每个角等于内角之和的君， 所以 六角螺母每个内角=720°×号-120°. 上面的例题启示我们：如果多边形的边数是%，从它的一个顶点作所有的对角线，就可以把这个%边形分成(2一2)个 三角形、这样，儿边形的内角之和就等于这（一2）个三角形的内角之和的总和，于是得到 -24 ==========第30页========== 定理%边形的内角之和=(n-2)×180°.因为正%边形的%个内角都相等，所以 正”边形每个内角=九-2×180. 三角形根据它的内角的大小可分为三类：每个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；如果有 B 一个内角是直角就叫直角三角形；如果有一个内角是钝角就叫钝角三角形 在直角三角形中，因为有一个内角是直角，其他两个角必然都是锐角.如 ∠C是直角（图2-6）， .'∠A+∠B+∠C=180°， 图2-6 .∴.∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°. 由此可知：直角三角形的两个锐角互为余角. [例4幻在修建堤坝时，常用测倾仪测量堤坝的倾斜角，如图2-7（甲），测倾仪悬垂的指针所指度数就是倾角的度数，为什么？ (甲) 图2-7 解：为了便于说明，将测倾仪所指的角和堤坝倾角的位置关系表示如图2-7（乙），问题就转化为 已知：AC LBC,ADLBD. 求证：∠A=∠B, -25 ==========第31页========== 证明：在△AC0中，∠('=90°(·，'AC⊥BC), .'.∠1+∠A0C=90°（直角三角形的两锐角互.余). 同理 ∠B+∠BOD=90° 又 ∠AOC=∠BOD(对顶角相等)， .∠A=∠B 由这个例题可以得到 定理如果一个锐角的两条边分别垂直于另一锐角的两条边，那末这两个锐角相等， 二、勾股定理 现在我们再来研究三角形中三条边之间的联系. 我国古代劳动人民，在长期的生产实践中很早就发现了直角三角形三边之间的关系.他们把直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦.据我国西汉时期的著名算书《周髀算经》记载，早在周朗时代，就有“勾三股四弦五”的说法，也就是说，如果直角三角形两条直角边的长度分别是3与4，则斜边长度就是6.以后逐步发现直角三角形三边具有更普遍的规律 勾2+股2=弦 我国发现这个关系式比西方要早好几百年，这是我国古代文化伟大成就之一. 勾股定理直角三角形两直角边平方的和等于斜边的平方. 这个定理的明方法很多，我国占代采用的证法之一，就是把四个形状大小完全一样的直角三角形拼成图2-8，然后通过这个图来证明的.下面我们用推理的方法来表达这个定 26 ==========第32页========== M 图2-8 理的证明过程 已知△ABC中，∠C=90°， 求证a2+b2=c2 证明图2-8可以看成是：先以斜边c为边长作一个正方形，再照已知直角三角形的形状大小剪四个直角三角形，将它们的斜边依次紧靠在正方形的四条边上.因为过1点的a、b边所夹的角的大小是 ∠1+∠2+90°=180°， 所以过M点的a、b边在一条直线上.同理，图中的虚线都是直线，且都等于a+b. 虚线四边形的四个角都是直角，因此它是边长为+b的正方形，它的面积是(a+b);另一方面，虚线四边形是由四 个面积为空的直角三角形和一个面积为心°的正方形组成。 所以有等式 2+c (a+b)2=4.a 展开得 a2+2ab+62=2ab +c2, 两边减去2ab,就得 a2+b2=c2 师 一27- ==========第33页========== 根摆勾股定理，如果知道直角三角形任何两边的边长，就可以求出第三边边长： c=N2+b3,a=√c2-b2.b=\'c2-a2. [例5]架线工人用钢绳加固电线杆，如果钢绳的上端离地面6米，下端离电线杆脚4米，问钢绳应取多少米？ 解：电线杆是垂直于地面的，它与钢绳、地面围成一个直角三角形，钢绳是斜边.设钢绳长为心米，由勾股定理得 =√6+4=36+16=62≈7.21，所以，钢绳成略长于7.21米. [例6]某车间要把一批截面为正方形的钢料，去掉四角，加工成正八边形工件.已知正方形边长为0毫米，求加工后的正 八边形边长. 解：设正八边形边长为毫米.由图2-9可以看出，去掉的四个角都是直角三角形，它的斜边长 「60-x 2为心，两条直角边的长都是 50-心 2 0 由勾股定理得 图2-9 =√22+02 即 50-c 化/2’ 整理得 (√2+1)=50， 50=0(/2-1)≈50×0.414=20.7.2+1 所以，正八边形每边长约为20.7毫米. 28 ==========第34页========== 小 结 1.三角形内角之和为180°： (1)直角三角形两锐角互余； (2)三角形外角等于不相邻两内角之和； (3)n边形内角之和为(n-2)×180°. 2.勾股定理： (①)直角三角形三条边的关系： a2+b2=c2; (2)直角三角形边长计算公式（已知两边求第三边）：c=√a+b2,b=√c2-a2,a=√c2-b2。 习 题 1,求下列各图形中的未知角a: 300 人609 445 39910s (第1题) 2.已知∠A=50°，∠B=55°，求∠1，∠2. B 12 D (第2题) (第3题) 3.在△ABC中，已知∠B=∠C,AD是∠A的平分线，求证△ABD 29 ==========第35页========== 是直角三角形 4.求下列各图形1的未知角： 83 130° 30°人60°. 45y 55y (第4题) 5.已知AB‖CD,∠1=55°，∠2=80°，求∠3. B 人60 B D D (第5题) (第6题) 6.已知△1BG的外角∠ACD=60°，∠A=∠B,求△ABC各内角 的度数. 7.已知三角形的两个内角相等，另一个内角等于这两个内角的和，求各内角的度数. 8已知∠1，∠2和∠3都是△ABC的外角，求证∠1+∠2+∠3 =360°， B (第8题) -30 ==========第36页========== 9.证明：2边形的外角之和等于360°. 10.求正五边形每个内角的度数. 11.求下列图形中的长度心： 3 (第11题) 12.山坡上A、B两点的坡面距离是230米，高度差是35米，求A、B 两，点间的水平距离 B 230米 35米 (第12题) 13.梁柱间的支架如图所示，试根据图示尺寸（单位是厘米），求支架的 总长度 12 1.米 B. 0.米 一-0.S米 (第13题) (第14题) 14.安装电动机皮带时，要先求出两轮的中心距.已知两轮中心的水平距离为0.8米，对地面距离分别为0,4米和1.2米，求两轮的中 心距AB, ==========第37页========== 第二节全等三角形 半径相等的两个圆，边长相等的两个正方形，它们的形状、大小都是完全相同的.如果分别把它们迭在一起，它们的各部分就完全重合.我们把能够完全重合的两个图形叫做全等形. 定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 通常用记号“兰”表示全等，△ABC与△A'BC”全等，就 记作 ∧ABC=∧A'B'C 在全等三角形中，能够互相重合的边、角分别叫做全等三 角形的对应边和对应角.例如△ABC兰△A'BC(图2-10)， 图2-10 其中 AB和A'B,BC和BC,AC和A'C” 都是对应边； ∠A和∠A',∠B和∠B',∠C和∠C" 都是对应角 很明显，全等三角形的对应边相等，对应角也相等。 一、全等三角形的判定 在-一些实际问题中，要证明两条线段或两个角相等，往 -32- ==========第38页========== 往是将这两条线段或两个角分别看成是某两个三角形的边或角，先证这两个三角形全等，然后说明它们的对应边或对应角相等. 为此，有必要研究判定两个三角形全等的方法， 我们知道，两个圆的半径相等，这两个圆就全等；两个正方形的边长相等，这两个正方形就全等.可见判定两个圆全等或判定两个正方形全等，只需要一个条件就可以了 对两个三角形来说，究竟需要几个条件，才能判定它们全等呢？ 根据三角形的稳定性，我们知道，当三角形的三条边确定以后，这个三角形的形状大小就始终不变，因此，如果两个三角形的三条边对应相等，那未这两个三角形的形状大小就完全一样，迭起来就能完全重合，于是我们得到 判定定理1如果两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等（简写成边、边、边） 根据这个定理可以看出，判定两个三角形全等，要有三个条件，但要注意：并非任意三个条件都能使两个三角形全等的. 例如，在△ABC和△A'B'C中（图2-11）有AB=A'B, AC=A'C”,∠B=∠B,虽然具备了三个条件，但这两个三角 形并不全等.因此，两边和其中一边的对角对应相等的两个 三角形不一定全等 B B 图2-11 33 ==========第39页========== 在长期的生产斗争中，人们通过反复实践，除了掌握判定定理1之外，还总结出下面两个判定三角形全等的方法 判定定理2如果两个三角形两边和夹角对应相等，则这两个三角形全等（简写成边、角、边）. 判定定理3如果两个三角形两角和夹边对应相等，则这两个三角形全等（简写成角、边、角）. 由判定定理3可以推得 推论如果两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等，则这两个三角形全等. 根据上述定理和推论，要判定两个三角形全等，只需找出下列三对相等的量就可以了，即边、边、边；或边、角、边；或角、边、角.在每种情况中，至少要有一条边对应相等 [例1]要测量工件内槽的宽AB,可以把两根钢条AA' 和BB的中点O连在一起做成卡钳（图2-12），使用卡钳只 要量出A'、B两点间的距离，就能知道工件内糟的宽度.为 什么？ B 0 图2-12 解：为了说明A'B=AB,只要证明△AOB≈△A'OB 就行了. ·.·OA=OA',OB=OB(O是AA'和BB的中点)， 又 ∠1=∠2（对顶角相等）， -34- ==========第40页========== ..△AOB兰△A'OB(边、角、边)， AB=A'B(全等三角形的对应边相等). 因此，A'B间的距离就是工件内槽的宽 [例2]某战士测量河宽，他先直立在河边的B点望对 岸，视线AC(图2-13)通过帽檐的下沿落在对岸的C点上；然 后保持原有姿势向后转，视线AD通过帽檐的下沿落在河的 这一边的D点上，量出BD的长就得出河宽，为什么？ B 图2-13 解：在△ABC和△ABD中， .·∠ABC=∠ABD=90°（人直立于地面）， AB是公共边， ∠1=∠2（视线的角度未变）， .∴.△ABC≈△ABD(角、边、角)， BC=BD(全等三角形的对应边相等). 因此量出BD的长就得出河宽BC. [例3]作已知角∠AOB的平分线 作法：(1)以O为圆心，以适当长为半径画弧交∠A0B 的两边于E,F(图2-14)； (2)分别以E,F为圆心，以 同半径画弧，两弧交于N; E (3)连接ON,ON就是∠AOB 的平分线. B 证明：在△EON和△FOW 中， 图2-14 -35 ==========第41页========== OE=OF,花N=FN(作法)， ON是公共边， ,'.△ON兰△FON(边、边、边)， ∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）. 因此ON是∠AOB的平分线 [例4幻两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.试证平行四边形具有下列性质： 5 (1)对边相等； (2)对角线互相平分. 6 已知：四边形ABCD为平行 3 四边形（图2-15），即 图2-15 AB∥DC,AD‖BC, 对角线AC,BD相交于O 求证：(1)AB=CD, BC=AD; (2)A0=0C,DO=OB 证明：(1)在△ABC和△CDA中， ∠1=∠2，∠3=∠4（两直线平行，则内错角相等）， AC是公共边， ..△ABC三△CDA(角、边、角)， .AB=CD,BC=AD(全等三角形的对应边相等)； (2)在△AOD和△COB中， ∠4=∠3，∠6=∠6（两直线平行，则内错角相等）， AD=BC(已证)， .△AOD=△COB(角、边、角)， .AO=OC,D0=OB(全等三角形的对应边相等). 由于平行四边形具有对角线互相平分的性质，如果将平 行四边形绕着它的对角线交点O旋转180°，那末B点就转 -36 ==========第42页========== 到D点的位置上，D点就转到B点的位置上.同样A、C也 互换了位置，平行四边形旋转之后的新位置与旋转之前的原位置重合. 如果一个图形绕着某一点旋转180°后，它的新位置与原来的位置能完全重合，这种图形叫做中心对称图形，这个点就叫做对称中心，能重合的点叫做对称点. 可见平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O是它 的对称中心，对角顶点B和D,A和C都是关于O的对称点， 因为中心对称的图形能够平稳的旋转，所以需要转动的机械零件常设计成中心对称的形状.如飞机的螺旋桨，抽水机中水泵的叶轮，工广中的铣刀等往往是中心对称图形 [例们]在画零件图时，常用下述方法等分线段，例如把 线段AB五等分. 作法：(1)过A点任意作另一条直线AP(图2-16)； (2)从A点开始在AP上连续截取五段相等的线段 AA1,A1A2,…,A4A5; D (3)连接A5B,过A1,A2,A3, A4分别作平行于AB的直线，这组 A 平行线就把线段AB五等分，即 A3 AC=CD=DE=EF=FB A A 分析：先说明AC=CD.可把 这两条线段看做是某两个全等三角 图2-16 形的对应边，为此，过C作AP的平行线交DA2于G,这样就 得到两个三角形ACA1及CDG,分别以AC,CD为它们的一 边，只要证明△ACA1=∠CDG就行了 证明：.·CG‖A1A2,A1C川AG(作法)， .∴.A1AGC为平行四边形， -37一 ==========第43页========== CG=A:A2(平行四边形的对边相等). 又 AA1=A1A2（作法)， .∴.AA1=CG. 在△AA1C和△CGD中， AA:-CG, ∠A=∠DCG,∠ACA1=∠CDG (两直线平行，则同位角相等)， △AA1C兰△CGD(判定定理3推论)， '.AC=CD(全等三角形的对应边相等). 同理可证 CD=DE=EF-FB. 把这个例题一般化，可以得到 定理两条直线被一组平行线所截，如果其中一条被截成相等线段，那末另一条也被截成相等的线段 [例6们试证三角形两边中点连线（又叫三角形的中位线)平行于第三边且等于第三边的一半 已知：M、N分别为△ABC两边AB、AC的中点（图 2-17). 求证.MN BC,.MN-是BO. 分析：本题按已知条件直接去 证明MN∥BC就比较烦一些.为 此，我们可以设想过M作一条BC B 的平行线IN',只要证明MN'与 MN重合，就说明MN平行于BC. 图2-17 证明：过M作BC的平行线交AC于N', AM=MB, 2384 ==========第44页========== A .`.AN'=NO(平行线截得相等线段)， 所以N'是AC的中点。但已知V也是AC的中点，而一条 线段只有一个中点，因此N'与N重合，即MN'与MN重 合.所以 MN‖BC. 下面再证阴M-号BC. 取BC中点S,连接NS,则 NS‖AB（上面已证)， 因此1BSN为平行四边形， ,.MN=BS(平行四边形对边相等)， M加-号BC. 应用三角形中位线性质，可以求出被障碍物相隔的两点 之间的距离.如图2-18，A、B两点间有楼房相隔，要求出 AB的长，可以在AB之外选择一点C,连接AC和BC,并 分别找出AC,BC的中点D和E,量出DE的长再乘以2， 就得出AB的长. n C 图2-18 图2-19 [例7]一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形，平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，两腰中点连线叫做梯形的中位线 -39 ==========第45页========== 试证明梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半. 已知：在梯形ABCD中（图2-19），AD!BC,D、F分 别为AB,DC的中点. 求证：EF BO;EF AD;且 EF-是(AD+B0. 分析：设法把EF转化成某一个三角形的中位线，问题 就容易解决了. 证明：连接AF交BC的延长线于G, 在△ADF和△GCF中，由于 DF=FC(已知)， ∠1=∠2（对顶角相等），∠3=∠4（两直线平行，则内错角相等）， .'.△ADF兰△GCF（角、边、角). ,.AF=FG（全等三角形的对应边相等)， 因此EF是△ABG的中位线. ,∴.EF‖BC;EF‖AD(梯形两底平行). 又 EF-는B-글(C-+C), ,·CG=AD(△ADF≈△GC), .EF-号(B0+AD. 二、等腰三角形 人字屋架的形状（图2-20）是两边相等的三角形，这种三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，第三边叫做底边. 木工常用等腰三角形的木架来检验屋梁是否水平，检验 的方法是这样的：将等腰三角形木架的底边B0放在屋梁上， 40 ==========第46页========== 图2-20 图2-21 如图2-21，在木架顶点A悬挂一重锤，吊线是铅垂线，如果 这铅垂线通过底边中点M,就能断定屋梁是水平的.要弄清 这个道理，必须了解等腰三角形的下列性质 定理等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 已知在△ABC中（图2-22），AB=AC,∠1=∠2 求证BD=DO,AD⊥BC. 证明在△ABD和△ACD中， AB=AC,∠1=∠2（已知）， AD是公共边， ∴.△ABD三△ACD(边、角、边). BD=DC(全等三角形的对应边相等)， ∠3=∠4（全等三角形的对应角相等）. .·∠3+∠4=180° .∠3=∠4=90°，即ADLBC 从三角形的一个顶点A到对边中点的连线AM叫做该边 34 HT M C 图2-22 图2-23 ー4 ==========第47页========== 上的中线，从顶点A到对边的垂线A丑叫做该边上的高.中 线AM,高AIH以及∠A的平分线AT,这三条线段在一般 情况下是有区别的（图223）.但在等腰三角形中，顶角平分线、底边上的高和中线相互重合，所以等腰三角形底边的垂直平分线必定通过顶点.木工就是根据这个性质应用等腰三角架来检验屋梁是否水平的，因为当过顶点的铅垂线通过底边 中点M时，铅垂线就是底边上的高，所以铅垂线垂直于屋梁， 说明屋梁是水平的. 在上面定理的证明过程中，因为△ABD三△ACD(图 2-22),所以∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).由此得 到等腰三角形的另一个重要性质： 定理等腰三角形的两底角相等， 反之，如果一个三角形有两个角相等，它就是等腰三角形(读者自己证明). 根据等腰三角形的性质，如果把等腰三角形沿着顶角平 分线AD对折，那末左右两边的两部分就能完全重合， 一个图形如果沿某一直线对折后能使直线两边的两部分完全重合，就叫这个图形为轴对称图形，这条直线叫对称轴，能重合在一起的点叫对称点.因此等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线是它的对称轴 因为轴对称的物体具有受力均匀、制造方便而又美观的特点，因此轴对称图形在生产实践中应用较广.如工厂中常见的六角螺帽，它的正面图就是轴对称图形（图2-24）. [例8]屋架的下弦杆BC长4米，中柱AM高1米，求 上弦杆AB的长（图2-25）. 解：因为屋架ABC是等腰三角形，中柱AM垂直平分 下弦BC,所以 ー42 ==========第48页========== B 图2-24 图2-25 BM=号BC-号×4-2， 在直角三角形ABM中，由勾股定理得 AB=/B2+AM2=/4+1=/5≈2.21， 所以屋架上弦AB的长约为2.24米. [例9]若等腰直角三角形的直 角边边长是L,求底角的度数和斜边 边长. 解：如图2-26，∠0=90°，AC =BC=L. B dc 因为等腰三角形的底角相等， ∠A=∠B 图2-26 又 ∠A十∠B=90°（直角三角形两锐角互余）， ,.∠A=∠B=45°. 由勾股定理得 AB=/B2+AC=√T2+=√2L2=√2L. 由此可知，在锐角等于45°的直角三角形中，斜边边长是直角边边长的√2倍. 三边相等的三角形叫做等边三角形 [例10]证明顶角是60°的等腰三角形是等边三角形. 43 ==========第49页========== 已知：在△ABC中（图2-27，AB=AC,∠A=60°. 求证：AB=BC=AC. 证明：因为∠A=60°， 60 .‘.∠B+∠0=120°. 又 ∠B=∠C (等腰三角形两底角相等)、 B .∴.∠B=∠C=60°， 图2-27 ..∠C=∠A, AB=BC(两角相等的三角形是等腰三角形)， 因此 AB-BC=AC. 由此可得等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等且都等于60°. 反之，如果一个三角形的三个内角都是60°，它就是等边 三角形. 从等边三角形ABC的页点A 作∠A的平分线AD(图2-28)，则 ∠BAD=30°，且AD垂直平分底 边BC,于是 B BD-BC AB. 图2-28 因此我们得到下述的直角三角形性质：在一个角等于30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 下面我们介绍有关点的轨迹的概念.先看一个例题、[例11]证明 (1)线段的垂直平分线上任意一点到这线段两端距 -44- ==========第50页========== 离相等； (2)到一条线段的两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 分别证明如下： (1)已知：AB是一线段，MN 是AB的垂直平分线，交AB于C (图2-29)，P是MN上的任意一A 2 点 求证：PA=PB 图2-29 证明：.·△PAC兰△PBC(边，角、边)， .'.PA=PB(全等三角形的对应边相等)； (2)已知：AB是一线段，P是AB外任意一点，PA=PB 求证：P点在AB的垂直平分线上 证明：过P作MN⊥AB交AB于C(图2-29)， ·.·PA=PB, ..△PAB是等腰三角形， 于是，PC是等腰三角形底边上的高， 因为等腰三角形底边上的高就是底边上的中线， .AC=CB, 所以，MN是AB的垂直平分线，即P在AB的垂直平分线 上. 由例11可以看出，如果MN是线段AB的垂直平分线， 那末·MV上任意一点都符合“到A、B两点距离相等”这个 条件：另一方面，凡是符合这个条件的所有的点都在MN上. 可见，MV是由符合“到A、B两点距离相等”这个条件的所 有的点组成的 用运动的观点来看，线段AB的垂直平分线MN可以看 -45 ==========第51页========== 成是一个动点按照一定条件运动所描绘出来的图形，这个条件就是动点在运动过程中始终和线段的两端距离相等， 我们把动点按一定条件运动所描绘出来的图形叫做具有这种条件的点的轨迹 具有某种条件的点的轨迹应满足两方面的要求： (1)在轨迹上的点都符合这个条件；(②)符合这个条件的点都在轨迹上. 因此可以说：到线段两端等距离的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 又如，到一只角两边等距离的点的轨迹是这只角的平分线，因为一方面，角的平分线上任意一点到角的两边距离相等；另一方面，到角的两边距离相等的所有点都在这平分线上 又如，到定点O的距离等于定长R的点的轨迹是以O为 圆心以R为半径的圆，因为一方面，圆上任意一点到圆心O 的距离都等于R；另一方面，到圆心O的距离等于R的所有 点都在圆上. 小 结 1.全等三角形的判定： (1)三边对应相等的两个三角形全等（边，边、边）； (2)两边和夹角对应相等的两个三角形全等（边、角、边） (3)两角和夹边对应相等的两个三角形全等（角、边、角），推论：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； (4)斜边和-一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(见48页习题2). -一46-- ==========第52页========== 2.平行四边形： (1)平行四边形对边相等，对角线互相平分； (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（见49页习题8)： (3)平行四边形是中心对称图形. 3.中位线： (1)三角形的中位线平行于底边且等于底边的一米； (2)梯形中位线平行于上、下底且等于上、下底之和的一并 4.等腰三角形： (1)等腰三角形的页角平分线垂直平分底边；(②)等腰三角形两底角相等； (3)等腰三角形是轴对称图形. 5.轨迹： (1)到线段两端距离相等的点的轨迹是线段的中垂线； (2)到角的两边距离相等的点的轨迹是角的平分线； (3)到一定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆. 习 题 1.已知△ABD签△ACE,∠B=∠C,指出△ABD和△ACE的所 有对应边和对应角. E (第1题) 一47- ==========第53页========== 2.证明斜边和-·条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 3.已知AB=AC,∠1=∠2，求证∠B=∠C, 12 D (第3题) 4、证明矩形的对角线相等， 5.已知∠ACB=∠DBC,AC=DB,求证∠A=∠D D (第5题) (第6题) B、已知AB I DE,AC DE,BE=CF,求证AB=DE,AC=DF.7用角尺平分任意∠AOB,可先在∠AOB的两边OA,OB上量出相 等的线段OP,OQ,再移动角尺，使角尺两边上相同刻度的点分别 和P、Q重合，试证明这时经过角尺顶点M的射线就是∠AOB的 平分线. 0 (第7题) 48- ==========第54页========== 8.证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 9.证明：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 10,钻工要在某机械零件上钻四个等距离的孔.使这四个孔在同一直 线上，间当第一孔与第匹孔的中心位置已定时，如何定其余两个孔的中心位置？ 11.已知D、E、F分别是△ABC的三边BC,AC,AB的中点，求证四 边形BDEF是平行四边形. 12.已知O为平行四边形ABCD的两条对角线的交点，E、F、G、丑分 别为AO、BO、CO、DO的中点，求证四边形FG丑是平行四边 形 13,试举出三个中心对称图形的实例， 14.两腰相等的梯形叫等腰梯形，试证明等腰梯形的两底角相等。 16.要测量池塘两端的距离AB,只 要在池塘外面选择一点C，连接 AC、BC,再量得AC、BC的中点 连线EF的长度就知道AB的距 离，为什么？ 16.证明等腰三角形两腰上的中线相 等 17.如图，已知AE为三角形ABC的 (第15题) 外角∠DAC的平分线，且AE‖BC,求证AB=AC. D (第17题) (第18题) 18.如图，屋架ABC为等腰真角三角形，∠C=90°，CDLAB,若 AB=12米，求CD 19.(1)已知等腰三角形的底边长为a,高为h,求腰的长； -49 ==========第55页========== (②)已知等边三角形的高为h,求它的边长； (3)已知-一直角三角形的一个角为60°，斜边长为a,求60°角所 对的直角边长； (4)已知六角螺母的边长为4，求它的对边距 20.在△ABC中，AB=AC,AD是底边BC上的中线，∠B=50°， 求∠CAD 1.在角铁的一个面上，剪掉一个角，就可以弯成一个角度.要把角铁 弯成直角，应怎样剪法？ (第21题) (第22题) 22.用一块45°的三角板测量烟囱.测量者站在C处，将三角板的直 角边EF放成铅直位置，使沿着斜边PE看过去正好看到烟囱顶点 B,这样，烟阿高AB=AC+PC,为什么？ 23.举出三个轴对称图形的实例 24.(1)已知△ABC为钝角三角形，∠C为钝角，画出BC、AC边上 的高； (2)△ABC与△A'BC是两个同底的三角形，它]的顶点在底边 BC的同侧.MN是过它们的顶点A、A'的直线，已知MN‖ BC,求证△ABC与△A'BC面积相等（同底等高的两三角形 面积相等)； (3)已知D为△ABC的BC边上任一点，求证 △ABD面积=BD △ADC面积D0 (等高的两个三角形面积之比等于它们底边的比) 5.在△ABC中，O是AB边的垂直平分线与AC边的垂直平分线的 交点，求证O点也在BC边的垂直平分线上 50 ==========第56页========== 26.C、D是线段AB的垂直平分线上的两点，求证：∠CAD=∠CBD. 改.在铁路MN的一旁有A和B两个工厂，要在铁路近旁修建一个货 仓，使它与A、B两厂的距离相等，应怎样确定这个货仓的位置， (第27题) 第三节相似三角形 一、相似三角形的判定 我们经常看到各种形状相同的图形，如国旗上的大、小五角星；不同规格的六角螺丝帽；用不同比例尺绘制的同一机械零件图和地图等 形状相同的图形之间具有哪些内在联系呢？为了弄清这个问题，我们把图2-30（甲）中用不同比例尺绘成的顶尖零件图中的两个三角形抽出来作比较（图2-30（乙）)，不难看出， 这两个三角形ABC和A'B'C”有以下联系： (1)∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C; (2)AB=24'B',BC=2B'C',AC=24'C, 即 AB BC AC 4B BO-AC-2. 这就是说，形状相同的两个三角形，实质上就是三个角都对应相等，三条边都对应成比例的两个三角形.这里，我们把彼此相等的角叫做对应角，对应角所对的边叫做对应边 51 ==========第57页========== (甲) (乙) 图2-30 定义对应角都相等，对应边都成比例的两个三角形叫做相似三角形.两个相似三角形对应边的比叫做相似比， 通常用记号“~”表示相似，△ABC和△A'BC相似就 记作 △ABC~△A'BO. 很明显，当两个相似三角形的相似比等于1时，这两个三角形就是全等三角形，可见全等三角形不过是相似三角形的 一种特殊情况. 由此可以推出，形状相似的两个多边形实质上也就是对应角都相等、对应边都成比例的两个多边形.在生产实践中，各种工程图的放大或缩小，都是按照以上两个条件来保证形状不变的 在绘图、测量和计算等工作中，经常要用到相似三角形的 -52 ==========第58页========== 性质，閃此必须掌握判定两个三角形相似的方法.判定两个 三角形相似与判定两个三角形全等相仿，并不一定要知道所有的对应角都相等，对应边都成比例，只要知道某些边、角的对应关系就可以了. 在推导判定定理之前，先证明下面的定理 定理平行于三角形-一边的直线截其他两边，截得的对应线段成比例 已知△ABC中，DE BC, 交AB于D,交AC于E. 63 求证 ADAE DBC· D 证明作EG⊥AB,DH⊥ AC(图2-31)，连BE和CD,于 B 是 图2-31 1 △ADE面积 AD.EG AD △DBE面积DB.EG DB, 1 A4DE面积_立AB,DH AE △ED0面积1EC.DHEC· 因为△DBE与△EDC同底等高，而三角形面积等于 底乘高的一半 ·.△DBE面积=△EDC面积， △ADE面积=△ADE面积 △DBE面积△EDC面积’ AD AE DB=EC・ -53- ==========第59页========== 由上面所得的结果，应用比例的性质还可以推出下面两个等式： AB AC AB ACAD=A龙DB=卫0· 这里证明第一式。 AD AF DB EC DB-EC AD AE(由反比性质)， AD+DB AE+EC AD AE(由合比性质)， 即 ABAC AD一A瓦· 同样可以推证 AB AC DBEC· 由这个定理可以推得：两直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例. 判定定理1如果两个三角形有两个角对应相等，则这两个三角形相似. 已知△ABC和△A'BC中，∠A=∠A',∠B=∠B (图2-32). B∠ 图2-32 求证△ABC~△A'BC”, 证明很明显，△ABC和△A'B'C”的三个角都对应相 ー54- ==========第60页========== 等.下面证明△ABC和△A'B'C的三条边都对应成比例. 在AB上截取AB'=A'B',过B'作直线BC'交AC于 C”,使得∠ABC'=∠B.因为∠A=∠A', ..△AB'C"≈△A'BC(角、边、角) ..AC1=A'C. .·B"C'‖BC(由∠AB'C=∠B=∠B), AB AC" AB AC（上面的定理)， 即 AB A'C ABAO 同理可证 A'B B'C ABBO· 于是 A'BBC”C"A' AB BC CA ..△ABC≈△A'BC 用类似的方法可以证明下面两个判定定理. 判定定理2如果两个三角形两边对应成比例，并且夹角相等，则这两个三角形相似. 判定定理3如果两个三角形三边对应成比例，则这两个三角形相似. 二、应用举例 [例1]利用影长测高.如测得烟肉的影长为19.4米，标杆的影长为2米，已知标杆长4米，求烟肉的高（图2-33）. 解：在△ABC和△A'BC中，因为烟肉和标杆都垂直 于地面， ー55一 ==========第61页========== B2-0 B-19.4C 图2-33 .∴.∠C=∠C'=90°. 又因为太阳光线是平行照射的，在同一时刻与地面所成的角处处相等， ∴.∠B=∠B .'.△ABC~△A'B'C(判定定理1)， AC BC AC BO(相似三角形的对应边成比例)， 即 4우-4，c-4x4-8&4 由此得知，烟肉高为38.8米 [例2]屋架的结构如图2-34，中间等距离地设置5根直腹杆，每两根直腹杆之间又有斜腹杆.已知屋架的跨 G 米 度BC是12米，高度AD是 D 3米，求其他四根直腹杆的 12米- 长度. 图2-34 解：屋架是以AD为轴的对称图形，只要求出两根直腹 杆EF、G丑的长度，那末与其对称的两根直腹杆的长度也 就知道了. -56- ==========第62页========== 由题设可知 DF=FH=HC=12=2(米). 6 在△ADC,△EFC和△GHC中，因为AD、EF、GH 都垂直于BC, .'.∠A1DC=∠EFC=∠GHC=90°， ∠C为公共角， △ADC~△EFC~△GHC(判定定理1)， EFFC (相似三角形的对应边成比例)， AD DC 即 EF 4 3 EF=2(米). 同理 GH HO ADD0’ 即 GH-2 3-3 GH=1(米). 所以，直腹杆EF、GH的长分别为2米和1米， [例3]比例规是由两根等长的金属杆交叉构成的一种绘图工具，利用它可以放大或缩小线段，金属杆上有螺丝用来固定两杆交点的位置 如图2-36，要作一条线段使它等于已知线段1的日，只 要把比例规的螺丝固定在O点，使OA=3OD,OB=3OC,然 后把两胭张开，使脚尖A、B之间的距离等于1，再以C、D 两脚尖为端点作一条线段，它的长度就是？的名，为什么？ -57 ==========第63页========== 证：在△AOB和△COD中， 0D001 OA OB3, ∠1-∠2（对顶角相等）， ..△COD△B0A(判定定理2)， CD OD AB OA(相似三角形的对应边成比例)， 即 c-g6 h 0 图2+35 图2-36 [例4幻证明连接三角形三边中点所成的三角形和原三角形相似. 已知：在△ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB的 中点（图2-36）. 求证：△DEF~△ABC. 证明：：DE=克AB,DF=是4C,E-是BC (三角形中位线性质)， ·8器子， ,∴.△DEF~△ABC(判定定理3). -58- ==========第64页========== [例5]贫下中农测量堤坝的高度，常用下述方法：将直 尺DE的一端E抵住堤坝边（图2-37），使直尺水平（可置气 泡水准仪使气泡居中)，在另一端D吊 一重锤，使锤尖刚刚触及坡边，然后量 D 出吊线DF、坡边长AC和尺端E到 锤尖F的长EF,则 堤坝高=坡边长×吊线长 1入 尺端到锤尖长 B 为什么？ 图2-37 证：堤坝的横截面是一个梯形，过A引梯形下底的垂线 AB交下底于B,AB就是堤坝的高. 在△ABC和△FDE中， .'AB⊥BC,ED⊥DF, .∴.∠ABC=∠FDE=90°， 又因ED∥BC, ,'.∠1=∠2（内错角相等）， .∴.△ABC~△FDE(判定定理1). AB AC ∴.DF=EF(相似三角形的对应边成比例)， 。AB=AC×DF EF, 即 堤坝高一坡边长×吊线长 尺端到锤尖长 两个相似三角形除对应边成比例以外，还可以证明它们的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，也就是两个相似三角形的对应线段成比例 [例6]把一块截面为三角形的废料改做成截面为正方 -59 ==========第65页========== 形的零件，如图2-38，使正方形的一边在BC上，两个顶点分 别在AB、AC上，已知BC长120 毫米，高AD为80毫米，求正方形 边长. 解：设图中四边形PQMN是 所求的正方形. AD与PN相交于E, d ∴.PN‖BC, 图2-38 ..△APN△ABC 又AE,AD分别为△APN,△ABC的对应边上的高， AE PN ADBC(相似三角形对应高的比等于相似比)。 设正方形边长为心毫米，则 AE=AD-ED=80-, 80-x0 80 120· 解上式得 =48 即所求正方形的边长为48毫米. 小 结 1.相似三角形的判定： (1)两只角对应相等的两个三角形相似； (2)两边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似； (3)三边对应成比例的两个三角形相似. 2.相似三角形的性质： 相似三角形对应线段的比等于相似比。 -一60一 ==========第66页========== 习题 1.下面的说法对吗？为什么？ (1)所有的等边三角形都相似； (2)所有的等腰三角形都相似； (3)所有的等腰直角三角形都相似. 2,对照三角形相似的判定定理，说明判定直角二角形相似的条件. 3、如图，已知△ABO~△DC0,而且∠A=∠D,写出所有的对应角 和对应边的比例式 D D B (第3题) (第4题) 4,如图，已知AD=2厘米，AE=3厘米，AB=6厘米，AC=4厘米， 问△ADE与△ABC是否相似？ 6已知△ABC~△A'BC,AB=4厘米，BC=5厘米，CA=6厘米， A'BC的最短边A'B一3厘米，求其余两边 6.如图，已知∠C=90°，DE LAB,求证△ADE△ABC. B 0 (第6题) 7.AA'、BB两线段相交于O,且AB》A'B', (1)若B0:OB=1:2,A'B=5厘米，求AB; (2)若B0=2厘米，BB=5.5厘米，AB=4厘米，求A'B, —61- ==========第67页========== 8.在直角△ABC中，∠C=90°，从顶点C引AB的垂线交AB于 D,证明AC2=AB·AD及BC=AB.BD. 9,应用上题结果，证明勾股定理 10。用卡计弱量内孔直径，卡尺AD和B0相等，若0一2C=号： CD=25毫米，求内孔直径AB. D (第10题) 11.已知杠杆的短臂是0.75米，长臂是3.75米，当短臂端点下降0.5 米时，长臂的端点上升多少米？ 12.为测量楼房的高，在它附近立一根标杆，测得标杆影长4米，楼房影长56米，已知标杆长2.5米，求楼房的高度. 18.要测量河宽AB,如图，从A点沿着和AB垂直的方向走100步到 C点，立一标杆，义走40步到D点，转一直角，如果再走22步到 点时，E、C、B三点恰在一直线上，就能求出河的宽度AB,为什么 (每步以0.75米计算)？ B (第13题) 14.贫下中农在土地规划时需要知道中间隔有土墩的A、B两点间的 距离，试用相似形原理提出一个侧量方案. 一62-- ==========第68页========== 坊.腕测法是一种简单的测量物体高度的方法.治手拿一很有刻度的 直尺CD,伸直右手臂，使直尺与要测的电杆AB平行，看直尺时， 尺如以2厘米的长度〔CF)给好遮住目标.已知宫测者到电杆的 距离0E是30米，臂长约60厘米，若侧点0距地面1.6米，求 电杆高度AB, (第5题) 复习题 1.下图为五角星，求证∠A+∠B+∠0+∠D+∠E云180°， (第1题) 2、在△ABC中，作BD LAC交AC于D.作CE⊥AB交AB于E, BD=CE,求证AB=AC. 3.ACD是一个平行四边形，E、F是对角线BD上的两点，若BE =DF,求证△ABE仑CDF B 4.已知AB‖CD,B、F是CB上的两 点，CE=BF,∠1=∠2，求证AB =CD. 6.已知ABCD为平行四边形，在AB、 BC、CD、DA上分别取E、F、G、H, 使AE=CG,BFeD过，求证EFGH (第4题) -63 ==========第69页========== 为平行四边形. 6,等腰梯形的一腰长2.5厘米，中位线长3厘米，求等腰梯形的周长（两腰相等的梯形叫等腰梯形） ?.在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠A =36°，CD平分∠ACB,求证△BCD是 36 等腰三角形. D 8.在△ABC中，D是AB边的中点，且CD -是AB,求证∠ACB是直角 9.如图测量树高AB,可先在地面上找一点 (第7题) G,使∠AEC=15°，再在BG方向上选择一点F,使∠ADC=30°， 若量出FG和EG分别为16米和1,35米，求树高. 30° 157 E B G (第9题) 10.一个钢屋架的尺寸如图所示（单位是米），求整个梁架所需要钢条 的总长 1.5 1. G 3 3 D {第10题) (第11题) 1,△ABC的三条中线AD、BE、CF相交于一点O,证明这一点到每 一边中点的距离等于这边上的中线的号（三角形的三条中线的交 一64 ==========第70页========== 点叫做三角形的重心).（提示：取OB、OC的中点G、H,先证明 GHEF为平行四边形，然后得出OE=OG=GB.) 2,证明：直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等 13.在△ABC中，I是∠B的平分线和∠C的平分线的交点，求证 M点也在∠A的平分线上 14.某公社要新建一所学校，使它与三个生产队A、B、C(不在一直线 上)的距离相等，应怎样确定这个学校的位置. 16、车工要在圆形钢管内车一个内孔，它的轴截面的尺寸如图，试求图 中x的长度 42 (第15题) 16.某工厂要建造一座钢筋混凝土的斜桥，为了便于施工，工人师傅把 一块梯形模板分成三小块制作，尺寸如图，然后到现场拼装，求 EF和GH的长度、 D 2米 1米 H B4米 3米1一8米 (第16题) 17.AD是△ABC的内角分角线，交BC于D,试证BD:DC=AB:AC. (提示：过C作DA的平行线交BA延长线于G,证AC=AG.) 一65- ==========第71页========== 第三章三角形的边角计算 在长期的生产实践中，劳动人民创造了大量的三角形结构，积累了丰富的三角学知识，这些知识是我们进行生产斗争、科学实验的有效数学工具.例如，在机械加工中，加工工件的某些尺寸，需要用三角计算；在测量中，要用三角来计算高度和距离；在军事上，要用三角来测定空间点的位置，在一般工程设计与建筑施工中也都普遍用到三角计算。 棠 本章将从一些实际的三角形边角计算问题出发，分析在 一个三角形中边角的内在联系，找出边角计算的一般方法. 第一节直角三角形的边角计算 一、直角三角形的边角分析 下面结合两个实例，先提出直角三角形边角计算的一般问题，分析边角的内在联系. 问题一处在海防前线的我空军雷达兵战士，牢记毛主席“提高警惕，保卫祖国”的伟大教导，时刻瞥惕地注视着我国沿海领空.有一次在雷达中发现敌机，测得敌机离雷达站的斜距1=100（公里），仰角a=8°.根据这些数据，我们如何求出敌机的高度以及它离雷达站的水平距离？ 我们设想，过敌机所在位置B向地面引一条垂线与地面 交于C,刺雷达位置A、敌机位置B以及C点构成一个直角 66 ==========第72页========== 三角形（图3-1）. 为了方便起见，我们把直角三角形中直角所对的边叫斜边，锐角a所对的边叫a的对边，同a相邻的直角边叫a的邻边. 这个问题就是在直角三角形中，已知-一个锐角α=8°，斜边1=100公里，要求a的对边和邻边. 1:100公里 85 钢板 垫块 8 图3-1 图3-2 问题二某车间接受-一批生产任务，要在厚钢板上钻出 一个85°的斜孔，加工时，工人师傅把钢板AB一头垫高（图 3-2),使它倾斜5°，再把钻头垂直向下钻孔，如果垫块与支点 A的距离AC=500毫米，问垫块BC应有多高？ 图3-2中，以A、B、C为顶点构成一直角三角形，问题就 是在直角三角形ABC中，已知AC=500毫米，a=5°，求它的 对边BO 上面两个问题的实际意义完全不同，但它们都可以归结 为这样的数学问题，即在直角三角形ABC中，已知一些边和 角，要求另外的一些边和角，这就是直角三角形的边角计算问题. 边和角是两个不同的概念，它们之间究竟有怎样的联系？为了弄清这个问题，我们先分析两个特殊的直角三角形的边角关系. 锐角为45°的直角三角形是一个等腰直角三角形（图 一67 ==========第73页========== 3-3),这种三角形不论边长如何，两直角边总是相等的.如果用α表示直角边的边长，则斜边长 AB=√a2+2=√/2a. 因此，这种三角形的一条直角边长与斜边长的比总有等式 ∠A的对边BC ，1 斜边AB√2a/2∠A的邻边=AC。a1斜边 AB√2a/2· 这就是说，等腰直角三角形的直角边与斜边之比不论边长如何总是一个定数. B 信 2a 明 45 A30 /3a 图3-3 图3-4 又如，对于一个锐角为30°的直角三角形（图3-4），不论边长如何，它的30°角的对边长总是斜边长的一半，即若30°角的对边BC长为a,则斜边AB长为2a,因此，30°角的邻边长 A0xN(2a)”-a=/3a. 所以，在这个锐角A为30°的直角三角形中， ∠A的对边BC三a一1斜边 AB 2a2, ∠A的邻边一AC=W3a-√3斜边 2a2 -、68 ==========第74页========== 这就是说，在一个锐角为30°的直角三角形中，两直角边与斜边之比也分别为一个定数. 从上面两个特例的分析，知道在一个锐角为30°或45°的直角三角形中，直角边与斜边之比同边的长短无关 毛主席教导我们：“普遍性即存在于特殊性之中”.下面再来揭示 B 在一般的直角三角形中，边比与角的联系， 我们知道，当锐角α给定之后 A 可以作许多大小不同的直角三角 图3-5 形，它们都是相似三角形，其对应边的比是相等的.如图3-5，a给定之后，所作出的两个直角三角形是相似的，即△ABC ~△ABC”,所以 BCBC ABAB=定数， ACAC AB A8=另一个定数 上面两个比式，揭示了直角三角形中边与锐角的内在联系，当直角三角形的一个锐角α给定之后，不论边长如何变化，任意两边之比分别为一个定数；反之，当边长之比给定时，角度也就确定了. 二、正弦和余弦 根据上面的讨论，我们引进下列概念. 定义对于一个锐角∠A,任作一个以它为内角的直角 三角形ABC(图3-6)，各角的对边分别记为a,b,C,那末，∠A的对边a与斜边c之比叫做∠A的正弦，用记号“sinA” -…69一 ==========第75页========== 表示，即 sin A=a ∠A的邻边b与斜边c之比叫做∠A的余弦，用记号“c0sA”表示，即 cos4=6 sinA读作sine A,cosA读作cosine A. b [例1]在图3-6的直角三角 图3-6 形中，设a=3,b=4,c=5,写出两个锐角的正弦和余弦. 解：根据定义得 sin A=a3 c5, COSA=84 sin B=b 4 5,c09B=8=3 5 在这里我们看到 sin A=cos B,cos A=sin B, 而∠A与∠B互为余角，即∠B=90°-∠A,所以 sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A). 这两个关系叫做余角关系，它对任意锐角A都成立. [例2]求30°、45°、60°角的正弦和余弦 解：分别以这些角为一个锐角的直角三角形已在上一段中讨论过（图3-3,3-4），因此可以立刻写出 2a=克，cs30°=V/3a=3sin30°=a1 2a 2 sin60°=√/8a=3 2a=2,C0s60°=a=12a -70 ==========第76页========== sin45°-a√2 V√2a2，c0945°= /2a2 上面三个特殊角的正弦、余弦是经常要用到的，望能熟记.对于0°到90°以内的其他锐角的正弦、余弦，可以直接从正弦、余弦表中查到. [例3]查表求出下列各正弦、余弦的值：sin25°2'； sin62°29'； c0s27°31'； c0s8612. 解：经查表得知， sin25°2'=0.42315；sin62°29'=0.88688；c0s2731'=0.88688: c098612'=0.06627, 或者从cosA=si(90°一A)这个关系中也可以求得 c0986°12'-sim(90°-86°12) =sim3°48'=0.06627， [例4幻查表求下列各锐角： (1)已知sinA=0.11609,求∠A; (2)已知cosB=0.75088,求∠B. 解：这里是已知一个角的正弦或余弦值，要求这个角，这刚好是和上面相反的问题.经查表，由于sin6°40'=0,11609，c0941°20'=0.7088，得到A=6°40'，B=41°20'. 现在我们来解决本章开始提出的关于雷达探测敌机的问题 [例5]在直角三角形AB0中，已知c=100,∠A=8°，求a,b(图3-1). ==========第77页========== 解：这个问题是已知直角三角形的斜边C和锐角A,要 求两条直角边a和b.由正弦、余弦的意义， sinA=g,c0sA-名 得 a=csin A=100sin8°=100×0.13917≈13.92，b=ccos A=100c0s8°=100×0.99027≈99， 出此可知，敌机飞行高度约为13.92公里，距雷达站的水平距离约为99公里 [例6]如图3-7，压气机的曲柄OC=r,连杆BC=(, 当曲柄OC转动了锐角α：时，求OB的长. VWE11KLDA B TLGELELIED 图3-7 解：因为以O、C、B为顶点的三角形不一定是一个直角 三角形，不能直接应用前面学过的知识.如果过C点向OB 引-条垂线CD,把△OCB化为两个直角三角形COD和 CBD,这样就能用正弦或余弦来解， 从图中可见，OB=OD+DB,且 OD=r cosa,CD=rsina, 在直角三角形CBD中，利用勾股定理得 DB2=CB2-CD2=12-2sin2a, 所以 OB=OD+DB=r cosa-2 sin2a 一72 ==========第78页========== : 三、正切 下面我们再引进直角三角形的另一个边比，即∠A的对 边与邻边的比。根据相似三角形 B 的性质，当锐角A确定之后，它 们的直角边之比也是一个定数. e 定义对于一个锐角∠A, 任作一个以它为内角的直角三角形ABC,那末，∠A的对边a与 图3-8 ∠A的邻边b之比叫做∠A的正切，用记号“tgA”表示，即 tg 4-g tgA读作tangent A. tgA的值也可以从《正切表》中查得.[例7]求30°、45°、60°的正切值， 解：这些特殊角的正切值，可以通过查表求得，也可以从图3-3,3-4中直接求得， tg30°==1-√3 3a33’ tg60°=√3a=√3， a tg45°-0=1. [例8]在图3-9的△ABC中，已知BD⊥AC,根据图 中数据，求出gA、gC,并由此求出∠A,∠C的大小. 解：先求得 BD=/AB2-AD产=√/102-83=√/36=6. —73一 ==========第79页========== 按正切定义， B tg A=BD63 AD84=0.76, 10 ig C=BD6=1.2. 8D50 05 图3-9 经查表， tg36°52'≈0.76，tg50°12'≈1.2， 所以 ∠A≈36°52'；∠C≈50°12. 在这里我们再来解决本章开始时提出的第二个问题，即 关于钢板钻孔的问题.在图3-2的直角三角形ABC中，已知 AC=500毫米，∠A=5°，求BC. 根据正切的定义， g6°=BC 500 所以 BC=500.g5°=500×0.08749≈43.76. 即在C点应垫高43.76毫米. 在直角三角形ABC中，我们把∠A的正切的倒数叫做 ∠A的余切，记作ctgA,即 otg A=b ctgA读作cotangent A,余切的值也可在《余切表》中查到.例如，已知∠A=62°32'，a=20,求b.由上式得 b=actg A=20ctg62°32=20×0.51983=10.3966 正切和余切间也有下面的余角关系： gA=ctg(90°-A),ctgA=tg(90°-A), 请读者自己推导， 74 ==========第80页========== 前面所讲的一个角的正弦、余弦、正切、余切，统称为这个角的三角比 四、解直角三角形的应用举例 毛主席教导我们：“认识从实践始，经过实践得到了理论的认识，还须再回到实践去。”下面介绍怎样利用三角比解决某些实际问题. [例9]上海港机械厂的工人同志，自行设计制造了二 十吨门式起重机（图3-10（甲）).机身高21米，吊杆AB长 36米，吊杆的倾角A(即吊杆与水平线的夹角)可以从30°转 到80°，求起重机工作时的最大高度和最大水平距离 解：当吊杆AB的倾角A达到最大限度80°时，起重机 米 80° C 21米 36米 月30 (甲) (丙) 图3-10 75 ==========第81页========== 起吊最高，这时，如图3-10（乙）所示，在直角三角形ABC中， ∠A=80°，AB=36,而 B0=ABsin80°=36sin80°， 查表得 sin80°=0.98481， 所以 BC=36×0.98481≈35.45， h=21+35.45=56.45. 即起重机的最大起吊高度为56.45米， 当倾角A达到最小限度时，起吊的水平距离最大，这时， 在直角三角形ABC中，∠A=30°，AB=36,而 A0=ABc0s30°=36×0.86603≈31.18. 所以起重机起吊的最大水平距离为31.18米 [例10]机械厂生产的减速箱壳尺寸（单位：毫米）如图3-11(甲)所示，求相邻两孔中心的水平距离c、y. 解：从图中看出A、D、B三孔在一直线上，且与水平线 的夹角为22°，AD=450,DB=300,求相邻两孔中心的水平 距离即是要求图3-11（乙）中的CE、EB. 在直角三角形DEB中， 450 300- 方 り20 22 (甲) (乙 图3-11 -76 ==========第82页========== cos B=EB DB’ 所以 y=EB=DBc0922°=300×0.92718≈278.15. 在直角三角形ACB中， AB=AD+DB=450+300=750 因为 COs B=CB AB' 所以 CB=AB.c0s22°=760×0.92718≈695.38. =CB-EB≈695.38-278.15=417.23. 由此可知，A、D两孔的水平距离约为417.23毫米；D、B 两孔的水平距离约为278.15毫米. [例11]一条公路的水平距离！与路面升高h的比值元=h:7叫做路面的坡度.已知某段公路，每前进（水平）100米，就升高4.25米.求路面的坡度及路面对水平面的倾角. 解：路面的坡度为 =h=4.25=0.0425. Z100 从图3-12的直角三角形中可见，边比b:?正好是所求倾角a的正切，即坡度=tga,所以 tga=0.0425, 查表得 =2°26， 图3-12 [例12]某型号机床拖板燕尾槽的燕尾角∠CAD为 60°，底宽a为300毫米，槽深b为50毫米（图3-13（甲）)，试求出上口宽度心. -77 ==========第83页========== (甲) (乙) 图3-13 解：在燕尾槽的横截面图3-13（乙)中，要求出上口宽x,可过C点作CDLAB,则龙=AB-2AD,而AB=300,只 要求出AD就行了， 在直角三角形ACD中，由ctgA=AD CD得 AD=CDctg A=60ctg60°二50×0.57735≈28.868，所以 x=AB-2AD=300-2×28.868=300-57.736≈242.26. 即上口宽约为242.26毫米. 五、三角比之间的关系 在直角三角形ABC中，两个锐角之间以及它的三条边之 间都是紧密联系的，比如 ∠A+∠B=90°，a2+b2=c2, 这种联系也必然要反映到三角比中来.事实上，由三角比的定义，可直接得到下列的基本关系： (1)勾股关系： sin2A+cos?A=1; -78 ==========第84页========== (2)比值关系： tg A=sin A cosA,ctg A=cos A sin A (3)倒数关系： tg A.ctg A=1, 下面来证明勾股关系.因为 sin A-a,C09A=6 所以 sin24+c0s4=a2 。h公 =1. 其余关系请读者自己证明. 利用上述公式，就可以从一个三角比求出其他的三角比.[例超】已知smA-受，求c0A,g山，cgA,解：由勾股关系，得 cos2 A=1-sin2A. 两边开方，注意csA是正值，只取正根得 4-v1-ma-V1-(-告， 由 tg A=sin A cosA 及otgA= tg A 得 3tg A=44’ otgA=14 33· 5 4 上面是利用三角比之间的关系来进行计算的.另外，我们还有更为直观的方法， -79一 ==========第85页========== 因为在直角三角形中，当锐角给定之后，边比与边长无 关，所以我们作一个辅助的直角三角形ABC(图3-14)，由已 3 知sinA=5,可取AB=5,BC=3,从勾股定理得 AC=25-9=4. 所以 COsA=40 4 AB=5: tg A-BO 3 4 AC 4' ctg A=AC 4 BC=3· B B 1 图3-14 图3-15 [例14幻已知tgA=k,求sinA,cosA. 解：我们还是用作辅助直角三角形的办法来计算.在图3-15的直角三角形AB0中，由于gA=,令AC=1,BC=k,根据勾股定理得 AB=√12+2， 所以 sin A=BCN1+, COS A=40 AB1十2· -80 ==========第86页========== 小 结 1.直角三角形的边角分析. 在直角三角形中，边比只与锐角的大小有关，而同边长无关.当锐角给定后，边比分别为一个定数.反之，边比给定时，角度也就确定了. 2.作一个以∠A为内角的直角三角形AB0(图3-6)， 那末，在直角三角形ABC中，锐角A的三角比定义为： 正弦：sin4=名；余弦：c04=名 正切：gA=分：余切：cgA-。 3.特殊角的三角比的值. sina cos a tga ctga 30° 1 √3 3 2 3 45° /2 /2 2 1 1 2 60° √3 V3 W 2 2 3 4.三角比之间的关系. (1)余角关系： sinA=cos(90°-A); cosA=sin(90°-A)； gA=ctg(90°-A);ctgA=g(90°-A). (2)勾股关系： sin2 A++cos2A=1. 8引一 ==========第87页========== (3)比值关系： tg A=ssin A C09A;ctg A=cos 4 sinA· (4)倒数关系： tg A.ctg 4=1. 5.解直角三角形 (1)已知直角三角形中一锐角和任意一边，可根据两锐角互余关系求另一锐角，再由三角比和勾股定理求其他的边； (②)已知直角三角形的任意两边，可根据勾股定理求第 三边，再由三角比求锐角 习 题 1.在直角三角形ABC中，已知c=3,4=2,求∠A、∠B的正弦与余弦 2.CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，写出∠A,∠DCB的正 弦和余弦 3.在△ABC中，CD⊥AB,图中哪 些线段的比可以表示∠A的正 弦？哪些线段的比可以表示 ∠BCD的正弦？ 4.在△ABC中，已知∠C=90°， AB=10,BC=8,sin A,cos A的值 5.查表求下列的正弦、余弦值： (第3题) (1)sin21°，sin36°42，sin52°47'； (2)c0s4638,cos69°，c0s85°4'. 6.查表求锐角x: (1)sina=0.09585,sina=0.26556,sina=0.90631: (2)c0s=0.00378,c0sa=0.58731,c0sa=0.85657. 一82-= ==========第88页========== 7.在直角三角形ABC中，已知a=4,b=3,写出sinA,cosB的值. 8.ABC是一个等腰三角形，已知腰长为13，底长为10，求它的底角. 9.在△ABC中，∠C=90°： (1)已知a=5,b=12,求∠A; (2)已知a=14.2,∠A=40°，求c; (3)已知c=3.28,∠B=56°，求a; (4)已知c=180,b=50,求∠A,∠B. 10.求下列各式的值： (1)(sin60°+cos60)(cos30°-sin30); (2)(1+cos45°+sin30)(1-sin45°+cos60); (3)sin60°-sin30 sim60°+sin30o, 11.在△ABC中，∠C=90°，c=17,b=15,求gA,gB的值. 12.查表求下列的正切、余切值： (1)g1955,g4615,g7630'; (2)ctg2517',ctg5728',ctg892'. 13.查表求锐角A: (1)gA=0.4003,tgA=0.1742,gA=2.824; (2)ctgA=3.191,ctgA=0.4964. 14.在△ABC中，∠C=90°： (1)已知∠A=3710',b=14.3,求a; (2)已知∠A=4630',&=20,求b. 15.拦水坝的断面尺寸如图（图中2：1表示坡度），求角a,B及下底宽. 3米 12 7米 2:1 -64- (第15题) (第16题) 16.要车削一个小端直径为12毫米，长为54毫米，斜角a4=7°的圆台， —83- ==========第89页========== 问最小应需多大直径的圆钢？ 17:飞机飞行的速度为100米/秒，上升角为30°.求30秒后，飞机上 升的高度以及飞机距起飞点的水平距离. 18.我空军战士，在飞机上测得入侵敌舰的俯角为50°12'，已知当时飞 行高度为1101米，求敌舰与我飞机的斜距r和水平距离d. V6012 1101米 21°1841 3.3米 0 d .105米-. (第18题) (第19题) 19.要测烟囱的高度，在离烟囱底部D的105米处，利用测角仪在A 点观测烟囱的顶点B,测得仰角为2118，测角仪高0A=1.3米， 试计算烟囱的高DB. 20.某电灌站机房屋面侧视图如图所示，已知AB=4,8米，屋面坡度为 1:2,求AC的长.如果屋面长7.6米，每平方米屋面铺瓦约15张， 问这机房屋面铺瓦多少张？ 1:2 4.8米 (第20题) 21.新建车间，设计人员把屋架下弦AB定为20米，中柱GD定为3.5 米，按淌水要求毫顶倾斜角不得小于1°，检查一下，设计是否符84 ==========第90页========== 2 3.5米 B 20米 0 (第21题) (第22题) 合要求. 2.东西两炮台B、A相距2公里，同时发现入侵敌舰C,测得敌舰在 东炮台B的正南方，在西炮台A的南偏东15°，试求敌舰与两炮 台的距离 5 23.(1)已知cosa=g,求sina,ga,oga (2)已知sinu-0.7,求cosa,tga,ctga; (3)已知tga=2,求sina,cosa. 第二节一般三角形的边角计算 在实践中除了直角三角形的边角问题外，还有一般三角形的边角问题. 例如，上海市城市建设部门为了清洁水源、保证人民健康，将污水进行处理，需要在黄浦江底敷设一条过江管道，把无害污水送到农村作肥料，如何算出江的宽度呢？ 如图3-16所示，为了计算河宽AB,先在B岸另选一点 C,则A、B、C三点连成一个三角形，我们知道，在一个三角 形中如果两角和一夹边给定之后，这个三角形就完全确定了。 ー85 ==========第91页========== 图3-16 因此，设测得两角∠B=88°1'、∠C=4643及其夹边BC =a=521.21米.根据这些数据就可计算出AB,如何计算 AB呢？这是已知任意三角形中的一些边和角，要计算其他 的边和角的问题，也就是解一般三角形的问题.为了解决这类问题，还需要进一步研究一般三角形中边和角的关系，下面我们介绍有关一般三角形边角关系的两个定理 一、正弦定理 在图3-16中，已知△ABC中的∠B、∠C和BC的长 4,要求AB的长c.为此，从点B引一条辅助线BD,使 BD LAC,得到两个直角三角形ABD和BCD. 在直角三角形ABD和BCD中，分别有 BD=csin A,BD=asin C; 所以 sinC=csin A, 即 d sin AsinC 由这个式子，就可以计算出河宽AB. 同样，过C作AB的垂线可导出： u sin AsinB· -…86 ==========第92页========== 把上面两个等式联起来，即得 正弦定理在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别 为a、b、c,则有 sin A sin B-sinC· 这就是说，三角形各边的边长与其对角的正弦之比相等. 因此，在一般三角形中，知道了两边及一个对角或知道了两角及一条对边，就可以利用正弦定理求解其他的边和角. b 应用正弦定理时，如果 △ABC中有一个角为钝角（如 图3-17中的∠ABC),该怎 B 么办呢？ 图3-17 ∠B的补角∠ABD=180°-∠B为锐角.自A点引CB 的垂线交CB的延长线于D,于是在直角三角形ABD中， AD=csim(180°-B). 在直角三角形ACD中， AD=6 sin C 所以 6 sin C=csin(180°-B), 即 b sin(180°-B)-sin0· 同理有 c sin A=a sinC, 即 G sin Asing· ー87~ ==========第93页========== 所以 b sin A sin(180°-B)-sinC· 在代数第五章中将会说明sin(180°一B)=sinB,这样，在钝角时导出的公式就与锐角时的公式一致了 现在回到我们最初的问题，求黄浦江的宽度AB. 由于∠A=180°-∠B-∠C=180°-881'-46°43'=4516， 因此，应用正弦定理，得到 521.12 sin45o16=sin46°437， 于是 521.12 C=sin46°16.×sin46°43 521.12×0.72797≈34. 0.71039 即黄浦江宽度约为534米. 二、余弦定理 根据伟大领袖毛主席“备战、备荒、为人民”的教导，要在 山里挖一个隧道AB,如图 3-18所示，为了知道AB的 长，我们在山的一侧取定一 点C,在C点测得 B0=u=180(米)， AC=b=210(米)， ∠ACB=5236', 如何根据已测出的数据算出 52°36 隧道的长度AB呢？ 这个问题就是在任意三 图3-18 -88一 ==========第94页========== 角形ABC中，已知两边AC、BC及其夹角∠C,求AB的 长. 我们仍旧用作辅助线的方法，过A点作对边BC心的垂线 AD,分原三角形为两个直角三角形. 在直角三角形ADB中，按勾股定理有 AB2=AD2+BD2. 从直角三角形ADC,可知 AD=AC sin C, BD=BC-DC=BC-AC cos C. 所以 AB2=(AC sin C)2+(BC-AC cos C) =402 sin2C+BC2+A02 cos2C-2BC.AC cos C=AC2(sin2C+-cos2C)+BC2-2BC.AC cos C=AC2+BC2-2BC.AC cosC, 即 c2=a2+62-2ab cos C. 于是我们得到 余弦定理在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别 为a、b、c,则有 c2=a2462-2a6 cosC 类似地还有 a2=62+02-2bccos A,62=a2+c2-2ac cos B. 这就是说，三角形一边的平方等于其余两边的平方和再减去这两边与其夹角余弦乘积的两倍 因此，在一般三角形中，知道了两边一夹角，或道了三边，就可以利用余弦定理求出其他的边和角 89 ==========第95页========== 如果△ABC中有一角为钝角（譬如图3-19中的∠C), 过B点引AC的垂线BD,因为 CD=ac0s(180°-C), BD=asin(180°-C), 由AB2=BD2+(AC+CD)名可 得 c2=a2+b2+2abc0s(180°-C).今后在代数第五章中会知道c0s(180°-C)=-c0sC,这 图3-19 样，在钝角时，导出的公式就与锐角时的公式一致. 现在应用余弦定理计算图3-18中隧道的长度c.我们有 c2=a2+-62-2ab cosC =1802+2102-2×180×210×c0s52°36=32400+44100-75600×0.60738=30582, 开方得 c÷√/30582≈175， 即隧道长度约为176米. 三、应用举例 [例1]相距2000米的东、西炮台B和A(图3-20)，同 时发现入侵的敌舰C,在西炮台A处测得敌舰在东偏南40°， 在东炮台B处测得敌舰在南偏东35°，试计算敌舰与两炮台 的距离. 解：已知两角和一边，用正弦定理，由于B是钝角，所以 B AC AB sin A sin(180-B)sin C' 90 ==========第96页========== 2000米 B A文40° 盼。 北 西一 东 南 图3-20 由此得 BC=AB sin A4C=AB sin(180°-B. sin O' sin C 把AB=2000,∠A=40°，180°-∠B=55°，∠C=180°-40° -125°=15°代入上两式得 BC=2000×0.64279 0.25882 .=4968, AC=2000×0.81915 0.25882 =6330. 即敌舰距西炮台约6330米，距东炮台约4968米.[例2]海岛民兵一次参加某部炮兵演习，在观察所里，民兵和解放军战士一起观察 B “敌情”.测得结果如图3-21 所示，我观察所C到“敌”阵地 136° B的距离CB=500米，观察所 C到我炮阵地A的距离CA 图3-21 =2800米，测出炮观目角a=135°，求我炮阵地到“敌阵地的 距离AB 解：由于∠C=135°为钝角，应用余弦定理 c2=a2+b2+2abc0s(180°-C), ==========第97页========== 得 c2=5002+28002+2×500×2800×c0s450=250000+7840000+2800000×0.7071=10069880, 两边开方得 c=/10069880≈3173， 由此可知，我炮阵地到“敌”阵地的距离约为3173米. [例3]要知道石坝对地面的斜角∠C,可把一竹竿斜 靠在石坝旁（图3-22），已知竹竿长AB=3.5(米)，AC=1.2 (米)，CB=2.8(米)，求∠C 解：由于石坝对地面的倾角∠C为锐角，所以∠ACB 为钝角，利用余弦定理得 os(180°-∠A0B)=c2-a2-b22ab =3.52-2.82-1.2=2.97=0.44196, 2×2.8×1.26.72 所以石坝对地面的倾角为 180°-∠ACB=63°46。 E 米 852 38毫米一 图3-22 图3-23 [例4幻车工在加工球面圆台时，必须先求出圆台上底 直径BE,再求出球面部分的高，才能车出球面部分.已知 球面圆台轴截面尺寸如图3-23所示，求BE和h.—92- ==========第98页========== 解：因为△AOB是一个直角三角形，而BE=2AB, h=24-AO,因此，为了求出BE、b,首先必须求出直角三 角形AOB中的两条直角边AB、AO.而要求出这两条直角 边，又必须先求出△AOB中的一个锐角AOB。为此，在 △BOC中应用正弦定理求出∠OBC,就可推出∠AOB. 在△B0C中，已知∠0=85°，0C=19,0B=24,用正 弦定理得 24 19 sin85osin∠OB0' 即 sin∠0BC=24 sin 860 19 24×0.99619≈0.78865 查表得 ∠0BC=52°4. .'.∠B00=180°-85°-52°4=42°56， 于是 ∠A0B=90°-42°56=47°4'， 在直角三角形AOB中，利用正弦和余弦可得 AB=24sin47°4'=24×0.73215≈17.57， A0=24c0947°4'=24×0.68116≈16.35， 所以 BE=2AB=2×17.57=35.14, h=24一A0=24-16.35=7.65 因此，球面圆台的上底直径约为35.14毫米，球面的高约为7.65毫米. [例6]上海工.人在设计三十二吨自卸式载重汽车时， 93.m ==========第99页========== 采用了先进的液压机构，需要计算油泵顶杆的长度，如果车斗 与水平线所成的最大倾角为60°（图3-24），油泵顶点B与支 点A的连线长为1.95米，且与水平线所成斜角6°20'，两支 点A、C间的距离是1.4米，试计算油泵顶杆BC的长. 60 620 图3-24 解：在△ABC中，AB=1.95米，AC=1.4米，用余弦 定理 0B2=1.42+1.953-2×1.4×1.95×c0s66°20 =1.96+3.8025-5.46×0.4014=3.6709, 两边开方得 CB=/3.5709≈1.89， 即油泵顶杆的长为1.89米 在生产实践中，经常会遇到象力、速度等一类量，它们不仅有大小，还有方向，我们把这种有大小和方向的量叫做向量，通常用一个有方向的线段来表示，线段的长度表示它的大小，线段的方向表示它的方向. 从物理学中知道，力的合成和分解都遵守平行四边形法 -94… ==========第100页========== 则.要求两个力F、F2的合力，可用这两个力做邻边构成 平行四边形，过两力交点的对角线就表示合力F的大小和方 向（图3-25）. F F. F F 图3-25 图326 根据平行四边形的性质，合成法则也可以用三角形法则 代替，即把分力F2经过平移使它的起点与分力F1的终点重 合，这时，从F1的起点到F?的终点的连线所表示的向量就 是合力F(图3-26). [例6]用绳索起吊货物（图3-27（甲）)，如果两绳索与 铅垂线的交角为30°与45°，货物重P=1000公斤，试求两 绳索所承受的拉力. F. 45F P=1000公斤 (甲) (乙) 图3-27 解：这里共有三个力：物重P、两根绳子的拉力F1、F2, 起重时，两个拉力的合力应当与物重平衡，所以问题是已知合 →95 ==========第101页========== 力P=1000公斤，求分力F1,F2.根据题意，在图3-27（乙） 的△ABC中，已知AC=1000公斤，∠A=45°，∠C=30°， 要求出AB,BC. 由于∠B=180°-∠A-∠C=180°-45°-30°=105° 是一个钝角，正弦定理取以下形式： BC AC AB sin A-sin(180-B)=sin. 从而 BC=AC sin A sin(180-B),AB-A0 sin Oin(180°-B)· 所以 BC-1000sin45° sin760=732, AB=1000sin30° sin76-617. 即绳索的拉力F1为517公斤，F为732公斤. [例7]轮渡以每小时16公里 的速度沿OB方向行驶，水流以每小 时4公里的速度沿OA方向流动，OA 与OB的夹角为100°，求轮渡实际航 行的速度和方向. 解：速度是向量，这里分速度 10)° 1=15公里/小时，2=4公里/小时，求合成速度)及v与v2的夹角，这 图3-28 就相当于在图3-28的△A0C中，已知A0=15,0A=4及其 夹角∠A=80°，求OC及∠A0C. 应用余弦定理得 002=0A2+A02-20A.AC cos A =42十152-2×4×15×c0g80°≈220.16， -96上 ==========第102页========== 所以 w=00=/220.16=14.83. 再利用正弦定理求∠AOC, sin∠A0c=AC 16 A=743sin80°=0.9 查表得 /A0C=84°56'， 由此可知，轮渡实际航行速度为每小时14.83公里，它与水流方向成84°56的角. 小 结 1.正弦定理：在△ABC中， bsin A sin B sin 适用于下列情况： (1)已知两角及任何一边，求其他两边； (2)已知两边及其中一边的对角，求其他的边和角. 2.余弦定理：在△ABC中， c2-a2+62-2ab cos COsC=a2-c2 2ab 适用于下列情况： (1)已知两边及其夹角，求另一边； (2)已知三边求角. 习 题 1.在△ABC中， (1)已知a=3,∠A=60°，∠B=45°，求b,c; (2)已知a=4,b=6,c=5,求∠A,∠B,∠C; (3)已知=9，b=2,∠C=60°，求c. 97 ==========第103页========== 2.解放军战土遵照毛主席“全力以赴，务歼入侵之敌”的教导，一天在我沿海某地上空发现敌机一 B 架，测得其仰角为25°，敌机以330米/秒的速度作水平飞行， 80° 6秒钟后到达B处被我军击落， 25 这时测得其仰角为80°，求此 时敌机到观察站C的距离. (第2题) 3.在开山引水前，欲测山洞之长AB,为此在山侧选取一点C,测得C 到山洞入口处A的距离为274米，C到出口处B的距离为198米， ∠ACB=75°，求AB之长. 274 198 50凳米 米 D 易 70毫米 75 C (第3题) (第4题) 4.如图，镗工师傅在加工齿轮箱侧面A、B、C三孔时，顺次镗好A、 B两孔后，把镗杆从B退到D,再从D向右移动工作台，使镗杆对 准C,然后加工C孔.试根据图示 尺寸，求BD和DC. 5.作用于一点的两个力P=36公斤，F =82公斤，两力的夹角a=7710,求 1803. 合力R的大小及R与F所夹的角B. 6.静水中行船的速度为每小时15公 (第5题) 里，如遇每小时6公里的河水流速，要使渡船垂直行驶过1000米宽的河面，求行船方向及到达对岸所需的时间。 -98- ==========第104页========== 复习题 1.把下列各三角比化为余角的三角比： (1)sin80°10'； (2)cos47; (3)g704; (4)ctg62°30'， 2.由下列已知三角比值，求作角x: (1)cosa=5 (2)tgx=0.75。 3.已知ga=合，求ina,cosa, 4.证明下列恒等式： (1)(1+tg2a)cos2a=1; (2)cos2a-sin2a=1-2sin2a: (3)(sinx+tgx)(cosx+etgx)=(1+sinx)(1+cos); (4)(1+sinx)tg2x(1-sinc)=sin2x. 5.南京长江大桥的正桥桥面到水平地面高约10.26米，引桥长约2565米，试求引桥桥面与水平地面的夹角α. 6.等腰三角形的顶角等于78°4，高为38.5厘米，求这三角形的两腰和面积. ?.圆台形工件叫做锥形工件（或称退拔工件），已知锥形工件大头直 径AD=30毫米，小头直径BC=17.4毫米，长Z=60毫米，问车 削时、小拖板应转多少角度？ (第7题) 99 ==========第105页========== 8.某机器厂工人，在加工如图所示的钩头斜键时，要计算出斜角a,已知钩头的斜度是1：10，求斜角a, 斜度：10 {一2.5米- 1:L.5 0.45米 (第8题) (第9题) 9.一铁路路基顶宽2.5米，高0.45米，路面的坡度为1：1.5，求路基底部的宽度 10.钳工师傅要把一条角钢在A点弯成一个70°的架子，就要在角钢 上剪去一个等腰三角形ABD,求BD的长. 芽 B 70 (第0题) 11,为了测量建筑物CD的高度，可在地面上选取两点A、B(使A、B、 D三点在一直线上)，用经纬仪分别在A、B两点观测建筑物顶C, 测得仰角分别为a=30°，B=50°，且量得AB=30米，测量仪器高 AA=1.3米，求建筑物的高. A'一a-30 人B=0U° 1.3米 B (第11题) -100- ==========第106页========== 12.两个建筑物AB和GD的水立距离为72.6米，从其中一个建筑物 的顶点A测得另一个建筑物的顶C和底D的俯角分别为3518'， 43°22'，求这两个建筑物的高. 4322 (第12题) 13.设A,B为我方两阵地，相距1000米，C为“敌”阵地，在A、B分 别测得∠CAB=6230',∠CBA=72°15，问我方两阵地各距“敌” 阵地多远？ 14,在海岸不远处有两座小岛P、?,要测量它们之间的距离，可在岸 边取两点A、B,量得AB=50米，又测得∠PAB=105°，∠QAB =30°，∠PBA=45°，∠BA=135°，试求两小岛间的距离PQ. D B (第14题) (第15题) 15.某工程，为了测量出地面上的E点与山顶B点的水平距离F,把 标尺AB插在山顶，从C点测得B点的仰角=7°36，A点的仰角 3=918,并从标尺上的刻度得知AB=3米，求EF. 16.将重物3)0公斤，用两根绳索起吊，绳索与铅垂线的夹角分别为 ー101 ==========第107页========== 47°14'，18°55'，求这两根绳索所受的力. 17.已知两个力F1=39公斤，F2=68公斤，这两个力的平衡力是 F。=85公斤，求平衡力与这两个力中每一个力所夹的角 18.(1)如果三个力1、F2、F平衡，并且夹角的记号如图所示，求证 E=2=F:: sina sin B siny (2)已知F1=100公斤，B=145°，Y=92°，求F2和Fg. ititi iaiiaaiaaaialsiai F A0 80B F 2. rs P=500公斤 (第18题) (第19题) 19.如图所示，0A和0B为两条钢绳，它们分别与水平线成50°和30° 的角.今在0点挂P=00公斤的重物，试利用上题的结论求OA 和OB所受的力. -…102- ==========第108页========== 第四章圆 在第一章里已经提过圆和圆的一些基本性质，知道圆的位置和大小分别由圆心位置和半径长短决定，当圆心和半径确定之后，圆也就确定了 那么，怎样确定一个圆的圆心位置和半径的长短呢？这在生产实际中是常常需要解决的问题.比如有一个残缺不全的皮带轮，如何求出它的半径，以便重新配制一个呢？又如何在一块圆板上定出圆心的位置，以便划线呢？ 工人老师傅从长期经验的积累中，创造了各种工具，用不同方法来解决这个问题.为要弄清各种方法的原理，有必要对圆的性质作进一步研究 第一节圆内的角和弦 这里我们先来介绍工人老师傅对残缺的皮带轮是怎样重新配制的. 他们先是把皮带轮的一段圆弧描在纸上，再在圆弧上任 取A、B、C三点，如图4-1，连AB、BC,分别画AB、BC的 垂直平分线MN、PQ,相交于O,O便是这个圆弧的圆心. 然后以OA做半径，重新配一个新的皮带轮，它便和原来的完 全一样 为什么这样画以后，量得的OA就是所求皮带轮的半径 -103 ==========第109页========== 呢？要明白这个道理，就要知道下面的一些圆的性质。 图4-1 一、弦和直径 弦有如下一条重要性质： 定理弦的垂直平分线通过圆心 已知AB是⊙O的一条弦，CD是AB的垂直平分线， 如图4-2. 求证CD通过圆心O. 证明连OA、OB,因OA=OB, 所以O点一定落在线段AB的垂直 平分线CD上，也就是说，CD必通过 圆心0. 在图4-1的画法中，因为MN是 图4-2 弦AB的垂直平分线，它通过圆心；同样PQ也通过圆心，所 以它们的交点O便是弧ABC所在圆的圆心，OA便是所求 的半径 上面这个画法也给我们指出：经过不在一直线上的三点，可以画一个圆，也只可以画一个圆.这种画法叫做三点定圆法.显然，和圆上三点等距离的点，便是这个圆的圆心.如果 一104-- ==========第110页========== 把这三点连成一个三角形，那么，这个圆就叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图4-3所示.山此，也知道三角形 三边的垂直平分线相交于一点. [例1]测得残缺圆轮的弦AB 长320毫米，矢高CD为46.2毫米， 求圆轮的直径. 图4-3 解：矢高CD是指弦AB的垂直平分线介于弦与对孤间 的线段长，所以它所在的直线经过圆心O(图4-4). 设圆轮半径为，因 4D=AB=160. A B OD=OC-DC-R-46.2. 连AO,在直角三角形AD0中有 A02=AD2+0D2, 即 R2=1602+(R-46.2)2 图4-4 =25600+R2-92.4R+2134.44, ‘.R≈300， 因此，圆轮的直径约为600毫米. [例2]手柄圆球直径D=25毫米，轴的直径d=16 毫米，在加工时需要求出L的 值（图4-5）. 解：在手柄圆球的剖面图 中，从圆心)问弦AB作垂线 OC.则C平分AB. .0=4B==7.5. 2=2 图4-5 -105— ==========第111页========== 4 又 OBD=12.5, C0=/0B2-B02=/12.52-7.5 =、(12.5+7.5)(12.5-7.5)=/20×5 =10, ..L=10+12.5=22.5(毫米). 其次，我们再介绍老师傅找圆心的另一种方法 老师傅为要确定飞轮的圆心，以便进行划线，创造了“角 尺定心法”.他们把角尺的顶点C 靠在圆周上，尺的两边分别与圆相 交于A、B两点，连接AB.然后 把角尺调换一个位置，用同样方法， 再画出另一条弦A'B,他们便把 AB和A'B'的交点O作为所求的 圆心（图4-6）. 图4-6 这又是为什么呢？原来圆还有下面的性质. 二、圆心角和圆周角 页点在圆心的角叫圆心角.顶点在圆上并且两边都和圆 相交的角叫圆周角.如图4-7，∠AOB 是圆心角，∠CDE是圆周角 定理圆周角为直角时所对的弦是直径. 已知 在图4-8中，圆周角∠“iCB=90° B 求证AB是圆的直径. 图4-7 ー106一 ==========第112页========== 证明根据直角三角形斜边中点到三顶点等距离这一性 质，这里AB是斜边，取AB的中点 O,那么 0A=0B=0C. 因此O是圆心，所以AB是直径 这就说明了工人老师傅应用角尺定心器的道理了.原来他两次所画的 AB和A'B都是直径，所以交点便是 图4-B 圆心.老师傅们在长期生产实践中，创造了各种找圆心求半径的方法，这再次说明了…个真理：“在某种意义上来说，最聪明、最有才能的，是最有实践经验的战士。” 再从上面的图形来看，圆周角∠ACB对着半圆AB,而 圆心角∠AOB也同样对着AB,但这时∠AOB=180°，而 ∠ACB为90°，这是说圆周角∠ACB等于对同孤的圆心角 ∠AOB的一半.但这里指的仅是一个 C 特例，是不是一般的圆周角与圆心角都有这种关系呢？遵照毛主席教导：“就人类认识运动的秩序说来，总是由认识个别的和特殊的事物，逐步地扩大到认识一般的事物。”我们再来作 D 一般性的研究. 图4-9 在图4-9中，设∠ACB为任意一个圆周角，∠AOB为对 同弧的圆心角.过C画直径CD,则有 ∠AOD=∠AC0+∠CA0=2∠AC0, ∠BUD=∠BCO+∠CBO=2∠BCO, .·.∠AD+∠B0D=2(∠ACO+∠BC0), 即 ∠AOB=2∠ACB, -07一 ==========第113页========== 或 ∠ACB=1∠A0B 如果圆心落在圆周角的外部（图4-10),同样可以证明这个结果（留给读者自己证明). 由此得 定理圆周角等于对同弧的圆心 图4-10 角的一半. 还可以推出：半圆上的圆周角是直角，以及对同弧的圆周角相等 [例3]五角星的五个顶点都在同一个圆上（图4-11），并且 AB-BC=CD=DE-EA, 求五角星的每个角的度数. 解：五角星的五个顶点把圆周五 等分.因为等孤所对的圆周角相等，E 所以五角星的五个顶角都相等.现在 只计算∠A. 因为圆周角A对着D0,它等于 对同弧的圆心角D的一半.但 图4-11 ∠DOC-360° 5 =72°， ,.∠A=36°. [例4]计算奇数齿铣刀的直径.解：如图4-12，设铣刀的齿数为 ,要求它的直径AD,可先用卡尺量 出两个齿顶的最大距离AB=G.因为 图4-12 -108 ==========第114页========== 齿数为奇数，所以齿顶B和C关于直径AD是对称的. ,∠BOD=360° 2n’ ∠BAD-号∠B0D=90 再通过直角三角形ABD,就可求得 AD=-AB e CO9∠BADcos 90. [例5]把圆周等分后，顺次连接相邻的两个等分点，得出一个圆的内接正多边形.设圆的半径为，试求内接正%(n≥3)边形一边的长. 解：如图4-13，设am=AB为所求内接正%边形的一边 长，它所对的中心角为360°%,作∠0 的平分线OD,则 AB=2AD=2Rsin180° 0 个380° 2. 从这个例子可以看到，当n=6时， D AB=R.即圆内接正六边形一边的 y 长等于圆的半径 图4-13 为了便于等分圆周，劳动人民创造了《等分圆周表》.在这表中，直径系数k即sin,当 知道直径d和%时，只 要在表中查出k的值，再和相乘，就能求得相邻两个等分点间的距离am. 例如把半径为10厘米的圆七等分.这里n=7,d=20,从表中查得 -109一 ==========第115页========== k7=0.4339, 于是 a7=20×0.4339=8.678(厘米)， 然后以8.678厘米为半径，连续在圆上截取七次，就能把圆近似地七等分了. 小 结 1.弦和直径 弦的垂直平分线通过圆心； 三角形三边的垂直平分线相交于一点（外心）。 2.圆周角和圆心角： 圆周角等于对同弧的圆心角的一半；圆周角为直角时所对的弦是直径， 习 题 1.测得圆形工件的弦AB长190.4毫米，卡脚高（矢高）CD为84毫 米，求工件的直径 blaowiamadamdlactmbb -190.4- (第1题) 110- ==========第116页========== 2,把钢珠放在圆形工件的上面，可以测量工件的内直径.若钢珠在圆孔外面的高度h=8.4毫米，钢珠的半径r=5毫米，试计算工件内直径d. 3.圆内两弦AB与CD相交于 E点，则AE·EB=CE·ED. 4.在直径为40毫米的轴上，铣出一个正方形的平面，正方形的一边长是34.9毫米，求 (第2题) 铣切部分的深度x. 6.试证圆内接四边形对角的和 34.9 为180°， 6.直径AB与C)相交成45° 角，计算下列角度：∠CAD, ∠CAB,∠ADC, B 7,圆的半径是10厘米，问圆的 中40 内接正三角形的边长是多少？面积是多少？ (第4题) 第二节直线与圆弧、圆弧与圆弧的连接 这里我们再转入有关圆的另一课题，即线的连接问题.许多建筑工程的划线和机械零件的轮廓图，往往是由直线与圆弧或圆弧与圆弧连接构成的.在接头处要求由一种线条光滑地转到另一种线条上去 例如，收割机的三星板图（图4-14）就是由四条圆弧和两条线段连接构成的.要求按图中所给尺寸，把这个图样画出来。 -11} ==========第117页========== 中10 R10 -R60 R16 18 中10 R10 10 80 图4-14 要能画好这种图样，就要懂得连接问题.要弄懂什么叫连接和怎样连接，那就要先弄清楚下面所讲的直线与圆相切和圆与圆相切的问题 一、直线与圆相切圆与圆相切 一条直线和圆如果有两个交点，这条直线就叫做圆的割线.如果直线和圆只有一个公共点，这条直线就叫做圆的切线，公共点叫做切点 在图4-15中，A1B1是一条割 线，OT是垂直于A1B1的半径.当 0 A1B1逐渐离开圆心O经过AB:, Bi 43B3,…等位置平行移动时，它总 /B2 是和O'相垂直而且被T所平分 B 的，这时割线与圆的两个父点也沿 图4-15 着圆周逐渐靠近，并且关于O理总是 对称的.当AB:到达半径O'的外端T即达到AB位置时， ー112- ==========第118页========== 两个交点重合为一点，这时AB成为圆的切线，在这个位置 上，显然，AB也还是和OT柑垂直的.由此可得 定理圆的切线和过切点的半径相垂直. 直线和圆相切的例子是很多的.用游标卡尺量圆形工件的直径时，卡尺的两只脚都利和圆相切；火车在轨道上，它的轮子和铁轨也是相切的 上面的定理给我们指出了怎样过一点P向一个圆画切 线的方法. (1)点P在圆0上（图4-16）. 连OP,过P作AB⊥OP,那么AB就是所求的切线. 图4-16 图4-17 (2)点P在圆0外（图4-17）. 这里的关键在找切点的位置，只要能确定出切点，切线便 容易画出.设(I)是切点，则因切线垂直于过切点的半 径，所以∠PTO=90°.而对直径的圆周角是直角，由此可 得画法如下： 连OP,以()P为直径画圆交⊙O于T1,Tg两点，连 PI1,P即为所求的切线 从圆外一定点向圆所作的两条切线，其由定点到切点间线段的长叫切线的长 -一1}3- ==========第119页========== [例1]试证从圆外一点向圆所作的两条切线的长相等. 已知：圆外一点P向 圆作两切线PA和PB(图 4-18),A、B是两切点. 求证：PA=PB, 证明：连OA,OB,则 ∠PAO=∠PB0=90'. B 由勾股定理有 图4-18 PA-VOP2-0A PB-OP2-OB, .·OA=OB ∴.PA=PB 从上面这个例子还可证明∠APO=∠BPO,所以，P点 和圆心O的连线平分从P点所作两切线的夹角. 反之，从圆外一点所作圆的两条切线，其夹角的平分线通过圆心. 工厂里用以找圆心的另一种工具叫“中心规”（图4-19）， 就是根据上面这条性质制造的.中心规上钢尺的一边AB是 两脚所夹角的平分线.工人师傅常用中心规来找圆形工件的圆心.他把中 B 心规两脚卡紧圆形工件，然后沿尺边 AB在工件上画一 图4-19 条直线，再把工件 转动一下，又画出另一条直线，这两条直线的交点，就是圆心. 又如，工人老师傅响应毛主席“勒俭建国”的号召，尽量利 -14 ==========第120页========== 用边角材料，从剩下的三角形铁片中截割尽可能大的圆铁片 从图4-20中可以看出，最大的圆铁片是和三角形三边都相切的圆片. 要截割这块圆片，先要定出圆片的中心.工人师傅也是根据上面这条性质，画 出∠B,∠C的平分线，它们 的交点O便是圆片的中心. 因为角平分线上任一点 到角的两边等距离，交点O 图420 在∠B的平分线上又在∠C的平分线上，故有 OD-OE=OF, 既然OD=OF,所以O点也在∠A的平分线上，因此，以O 为圆心，OD为半径画圆，便和△ABC的三边都相切了， 象这样一个和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心，这三角形叫圆的外切三角形. 从上面画法中可知：三角形三个内角的平分线相交于一点、这一点即三角形的内心. 上面讲的是一条直线和一个圆相切的情况.另外，我们在实际中还看到有条直线同时和两个圆都相切的例子.例如皮带轮的传动带和两个轮子都相切；自行车的链条和轮盘、飞轮也都相切. 一条直线和两个圆都相切，这条直线做两个圆的公切线.当两圆在公切线的同旁时，这条公切线叫外公切线，如图4-21(甲)；当两圆在公切线的两旁时，这条公切线叫内公切 一I15 ==========第121页========== 线，如图4-21（乙）. 一条公切线上两个切点间的距离叫做公切线的长，如图 4-21中的AB和A'B. 01 0. (甲) B 01 B (乙) 图4-21 [例2]证明两个圆的两条外公切线的长相等. 已知：图4-21（甲）中，AB,A'B是⊙O1和⊙O2的外 公切线的长. 求证：AB=A'B, 证明：设两条外公切线相交于P,则有 PA=PA',PB=PB', .PB-PA-PB-PA', 即 AB=AB'. 两圆的两条内公切线的长也是相等的，由读者自己证明. }16 ==========第122页========== 过两圆圆心O,O2的直线叫连心线.无论两圆处在什么 样的相互位置，相交或不相交，连心线都是两圆的对称轴.因为如果以连心线做轴，把圆对折，那么每一个半圆上的点，必定和另一半圆上的点重合. 从图4-22可见，两圆相交，有两个交点，这两交点关于连心线是对称的.当两圆沿连心线渐渐离开时，两个 B 交点就渐渐靠近，但两交点关于连心线还是对称的.两 图422 圆继续离开，当两交点在圆周上重合为一点时，该点就落在连心线上，即连心线通过这点 两圆只有一个公共点时，叫做两圆相切，公共点叫切点，如图4-23（甲）的情况叫两圆外切；如图4-23（乙）的情况叫两圆内切 0 010 (甲) (乙) 图4-23 两圆无论是内切或外切，都有如下一个共同性质：定理两圆相切，连心线通过切点 相切两圆的实例也是很多的，比如齿轮传动机构上的两个齿轮，它们的节圆就是相切的；又如滚珠轴承的滚珠和轴承 ー117 ==========第123页========== 套之间有内切，也有外切. A B [例3]在图4-24中， 两个半径分别为R=23 毫米，？=14毫米的圆相外 切，直线AB切两圆于A及 B点，求AB的长 解：因两圆相切，故连 图4-24 心线OO'通过切点.又因AB与两圆都相切，故OA⊥AB及 OB⊥AB 从O'作0'C⊥0A,则AB=C0',面 C0'=√/O02-O0=/(R+r)2-(R-r)8=2√Bm.把已知值代入，得到 AB=C0'=2/23×14≈36 即AB的长约为36毫米. [例4幻三个圆两两外切（图4-25），它们的圆心距是7厘米，8厘米和11厘米，求这三个圆的半径. 解：设⊙O1,⊙02， ⊙O3的半径分别为x2. 因为连心线通过切点，于是有 x+y=7, 心十名=8， y+%=11, 图4-25 .9+y+名=号7+8+1)=18， 于是 龙=2，y=5,2=6. 即三个圆的半径分别为2厘米、5厘米和6厘米. 一118- ==========第124页========== 二、直线与圆孤的连接 在本节开头，我们曾提到线的连接问题.所谓线的连接，是指出-·种线条光滑地转到另一种线条上去.当直线与圆相切时，直线在切点处就是光滑地过渡到圆弧上去的.在这种情况下，我们说直线与圆弧在切点处连接，如图4-26 工厂里的防护罩的外缘轮廓线， B 体育场的跑道，都是直线和圆弧在切点处连接的 下面介绍几种直线与圆弧连接的画法 图4-26 [例5]画一半径为R的圆弧，连接已知线段于线段上 的一个已知点. 已知：定长R,定线段AB,定点B 求作：半径为R的圆弧，在B点处和AB连接 作法：在B点作AB的垂线，并 B 在垂线上截取BO=R,然后以O为 圆心，OB为半径作弧BC,便是所求 作的圆弧，如图4-27. 本题的证明由读者自己完成， 图4-27 [例6]画一半径为R的圆弧与两已知相交直线连 接 已知：定长R,两相交直线11，飞2， 求作：半径为R的圆弧，使它和1,2相连接 分析：因为所求圆弧半径R是已知的，所以只要找出此 弧的圆心位置，问题就解决了.假设这段弧AB已画出（图 4-28),它和1，I2两直线的切点分别为A,B.那末从A,B 119 ==========第125页========== 分别作两直线的垂线相交于O,则点O便是求作：圆弧的圆心， 这里我们看到OA=OB=R,由此得到作法如下： 作法：如图4-28，作1，‖2，使1到1的距离和到2的 距离都为R,再以， 生 的交点O为中心，R为 半径画AB,即为所求的 圆弧 图4-28 本题的证明由读者自己完成 [例7]画-一条直线和两个圆弧相连接（这也就是画两个圆的公切线). 已知：AB和CD 求作：直线a,使它在AB、CD的同旁，并和这两弧连接(即作两圆的外公切 M 线). 分析：关键问题要确定切点的位置. 假设公切线a已作出，它分别切两弧 图4-29 于M和N,令AB和CD所在圆的圆心分别为O1,O2,半径 分别为R1,R2,则OM⊥a,O2N⊥a.要确定切点M的位置， 只要确定OM的位置，因为它和⊙O1的交点便是M.为了 确定OM,需要再确定这条线上的另一点.试从O向O1M 作垂线O2E,那么02E和公切线a平行，这里 OE=0M-EM=0M-O2N-R-R 为定长，如果以O1为心，丑1一R为半径画一个辅助圆，则 120一 ==========第126页========== OE是这个辅助圆的切线，E是切点，于是O1E便可画出（图 4-29). 作法：画出AB,CD所在圆的圆心O1,O2. 以O1为心，R1一R2为半径画辅助圆. 从O2向辅助圆画切线，得切点E. 连OE,并延长交AB于M. 作O,N IO1M交CD于N. 过M、N作直线，便得所求的公切线a,它和两已知弧在 M、N与AM,ND相连接 本题的证明由读者自己作， 同样，读者也可以根据图4-30所示，画出直线α，使它在 AB,CD的两旁，并和这两孤连接（即作两圆的内公切线）. 图4-30 [例8]图4-31（甲）是一块挂板，试按给定尺寸画出它的平面图. 分析：这种图形的外缘轮廓线，是由三条弧AB,CD、E户 与三条线段AF、BC和ED连接而成的，见图4-31（乙）.三 条弧的半径10、3、3毫米是已知的，当0点的位置确定后， AB就可以画出，再确定P点、Q点，从P、Q向AB作切线， 然后画FE、CD使与相交直线AP、PQ与BQ、PQ相连接， 图形便作成. ==========第127页========== R10 R10 中10 中l0 R3 3 -36 36 (甲) (乙) 图4-31 作法：先划十字线、b,交点为O 作c‖a,使a、c间距离为20毫米，于c线上取P、Q两点，分别在b线两侧，且到b线距离都为18毫米. 以O为心，画半径R=10毫米的AB, 从点P和Q分别作AB的切线PA,QB 作半径为3毫米的CD与两条相交直线QB、QP连接， 并作半径为3毫米的F应与PA、PQ连接 以5毫米为半径作⊙0完成作图. 三、圆孤与圆孤的连接 当两圆相切时，圆弧与圆弧就在切点处光滑地连接起来，从一个圆弧光滑地过渡到另一个圆弧，这就是圆弧与圆孤的 连接.如图4-32（甲）叫外连接，是两弧AB和BC所在圆外 切时的情形；图4-32（乙）叫内连接，是两弧所在圆内切时的情形. 前面讲过，两圆相切，它们的连心线通过切点，现在两圆 弧于切点处相连接，可知连心线OO。必然通过切点B,并且 在外连接的情况下，有 ー122 ==========第128页========== 00g=R1+R2, 在内连接的情况下，有 O302=R1-R2. 0. R (甲) (乙) 图4-32 下面举一个例子说明圆弧与圆弧连接的画法 [例9]画一·半径为R的圆弧，和一已知圆弧外连接，并 和另一已知圆弧内连接， 已知：两圆弧1,12的半径分别为R1,R2,两圆弧所在圆 的圆心分别为O1,O2；定长R. 求作：画一个以R为半径的圆弧，使它和内连接，和 2外连接（图4-33） R+Ra 0 图4-33 分析：解决这问题的关键是确定所求弧的圆心O的位 置.因为所求的圆弧要和11内连接，所以OO1一R一R1,即圆 心O应在以O1为心，R一B为半径的圆上.又因为所求弧要 -123- ==========第129页========== 和2外连接，所以OOg=R+R,即圆心O又应在以Og为心， R+R2为半径的圆上.于是这两个圆的交点便是O点的位 置. 作法：先画出圆弧1,2所在圆的圆心O1,Og. 分别以O1为心、R一R1为半径，O2为心、R+R2为半 径画弧，两弧相交于O. 以O为心、R为半径画AB与两已知孤连接，AB便是所 求作的弧. 小 结 1.直线和圆相切： 圆的切线和过切点的半径相垂直. 从圆外一点P向圆O可作两切线，这两条切线的长相 等，并且PO平分两切线的夹角. 反之，从圆外一点所作圆的两条切线，它们夹角的平分线通过圆心. 三角形三个内角的平分线相交于一点（内心）. 2.圆和圆相切： 两圆相切，连心线通过切点 设两圆的半径分别为R,个，连心线长为d,则当两圆外切时，d=R+r；内切时，d=R-r. 习题 1.设三角形的三边长分别为3,4,5厘米，求各顶点到内切圆的切点 的距离 2.圆的半径为R,求它的外切正三角形的每边长和面积 3.从圆外一点P向圆作割线交圆于A,B两点，并过P作圆的切线 PT,试证明PAPB=PT2. 一124 ==========第130页========== 4.各边都和圆相切的四边形叫圆的外切四边形，试证明圆外切四边形对边的和相等 5.要测量一个大型圆柱工件的直径，用两个半径？=10厘米的小圆钢柱，对称地安放在大圆柱工件的两侧，如图所示.测得两个小圆钢柱外端间距离d=164.22厘米，试计算大型圆柱直径. R (第5题) 6.联接相交两圆交点的线段叫公共弦.试证两圆的连心线垂直平分公共弦 7.三个传动齿轮如图，已知齿轮节圆的直径分别为54,68和88毫 米，齿轮A和齿轮C的中心距为85毫米，问齿轮中心连线的三个 夹角各是多少度？ p54 中88 68 B (第7题) }25- ==========第131页========== 8.用16毫米的圆柱棒测量燕尾槽，如图，测量值是30.02毫米，用中6毫米的圆柱棒测量时，测量值是58.48毫米，试求 (1)燕尾槽的底角0； 16 (2)燕尾槽的底宽b. -30.02 9.两圆相切于P,过P 点任意作两直线与两圆的交点分别为 A,C与B,D,求证 68.48 -bm AB‖CD 10.在⊙0中，AB和CD (第8题) 是两条相等的弦，以O为圆心画一个圆和AB相切，证明它和CD 也相切， 11.按1：1的比例画出控制汽门开关拐臂的平面图， R100 -R150 -300 (第11题) 12.下图是电炉零件的部分平面图，用1：2的比例画出图样。 40 p80 100 (第12题) ー126 ==========第132页========== 第三节弧长和弧度制 ー、圆周长弧长 我们知道，不论圆的直径多大，圆周长C和直径D的比 值)总是一个定数，称它为圆周率，用字母π表示，即 C D=或C=元D, 圆的半径记为R,这个公式也可写成 C=2aR 这就是圆周长的公式 早在公元三世纪，我国刘徽利用圆内接正多边形边长代替圆周长的办法，已算得π的数值为π=3.1416.到公元 五世纪，我国数学家祖冲之进一步算出π的数值介于 3.1415926和3.1415927之间，且定出m的约率为2号，密率 为,这是我国古代数学的光辉成就之一.355 [例1]求边长为4厘米的正方形的外接圆的周长. 解：在图4-34中，正方形ABCD的边长为4厘米，⊙0 是它的外接圆.连对角线BD.由于∠A=90°，所以BD是 ⊙0的一条直径. ·.·B.D=Λ/42+42 4厘米 =42(由勾股定理)， .:圆周长C=π×4√/2 ≈17.77. 即外接圆的圆周长约为17.77厘米. 图4-34 一127 ==========第133页========== [例2]机车以每小时65公里速度前进，已知机车车轮的转速是250转/分，求车轮的直径（毫米）. 解：机车车轮每小时转250×60圈，机车前进65公里，即65×10°毫米.所以，机车车轮每转一圈，机车前进65×106250×60毫米，即机车车轮的周长为65×106 260×60毫米. 因此，机车车轮直径 D-C 65×106 250×60×3.1416≈1379（毫米）. 在生产实际中，不但要计算圆的周长，有时还要计算一段弧的弧长.例如，在计算传动装置中皮带轮皮带的长时，就要计算皮带绕在轮子上的那一段的长，这就需要计算那一段的孤长. 我们知道，在任一圆中，圆心角愈大，所对的弧也愈长圆心角是360°时所对的弧是整个圆周，它的长是2rR,这里 R是圆的半径.所以1°喝心角所对的孤长是-费， %°的圆心角所对的弧长 1=nocR 180 这里角度是用角度制表示的， [例3]在半径为80厘米的圆中，问98°30'的圆心角所对的孤长等于多少？ 解：这里先把9830'化为98.5°，然后代入上式得乙=nrR=98.5×3.14×180 180 0≈137.5. 即弧长约为137.6厘米. [例4如果圆上的一段弧长（与半径R相等，问这段 一128 ==========第134页========== 弧所对的圆心角为多少？ 解：因1=B,代入弧长公式，得 R=nnR 180’ %=180。 0≈57.296°. 于是所求圆心角约为57.296°. 二、弧度制 角的大小除用角度制度量外，还常用弧度制表示.例如在高等数学中，几乎都用弧度制. 弧度制是这样规定的： 定义在圆周上取一段弧，使其长等于半径，于是这段弧所对的圆心角定为·弧度. 这样，当弧长等于R时，圆心角=1弧度，弧长=2.5R 时，圆心角=2.5弧度 -一般地说，当圆心角所对的弧长是半径R的α倍时，这 个圆心角就是α弧度.所以对任意一·个角，要确定它的弧度 值，可以把这个角看做是某一个半径为R的圆的一个圆心角， 如果它所对的弧长为？，这个角的弧度值为 a= 如果在一个半径为R的圆中，已知圆心角的弧度值为， 则它所对的弧长！为 l=aR. 必须注意，在这个求弧长的公式中，圆心角x的大小是用弧度而不是用角度表示的 角度制是以“度”为度量单位的，而弧度制则以“弧度”为 —129- ==========第135页========== 度量单位，两者既有区别，也有联系，它们可以互相换算 因为半径为R的圆周长是2rR,它所对的圆心角是-个周角，若用角度制表示，则为360°，若用弧度制表示，则为 2R R =2r弧度，因此有 360°=2π弧度， 所以 1°=高孤度≈0.01745孤度，1弧度=180≈57.296°=5717'45. 下面是几个常用的角度和弧度的对应值，应该记住. 角度n° 360 270 180° 90° 60° 45° 30° 孤度x 2x Bar z 云 [例5](1)化72°12,108°48为孤度； (②化孤度，2.4孤度为度数. 解：(1)72°12=72.2°=72.2×0.01746≈1.26弧度， (有时弧度两字也可以不写.) 108°48=108.8°=108.8×0.01745≈1.9； (2)용弧度-3x-10 5 2.4弧度=2.4×57.29°137.5°=137°30.[例6]为了避免由于膨胀而引起蒸气管破裂，蒸气管道中一般都装有膨胀节，它是用一根直圆管弯曲制成的，如图4-35所示，试求管道的总长. -.130- ==========第136页========== 260R500- R200 D--E 200 图4-35 解：从图可见，ABC所对的圆心角为260°，CD和AF 所对圆心角为130°.先化它们为弧度，再求孤长. AB0=260×0.01745×600, CD=AF=130×0.01745×200, '.总长=GF+FA+ABC+D+DE =2GF+2FA+ABC =2×200+2×130×0.01745×200÷260×0.01745×500 =400+0.01745(2×130×200+260×500)≈3576（毫米）. [例7]工厂里常要计算传动皮带轮皮带的长度.机器上皮带传动的方式有开式和交叉式两种，下面介绍开式皮带轮皮带长度的计算. 在图4-36中，已知两皮带轮的中心距O102=244厘米，大 轮半径R1=30厘米，小轮半径R2=13厘米，试求皮带的长. 3}一 ==========第137页========== A B D 0 R 开式 交叉式 图4-36 解：作O2E⊥O1A,则 02E=AB=CD,O1E=R1-R2=30-13=17. 由勾股定理， 02E=/010g-01E2=/2442=17产≈243.4. 又在直角三角形O1O2E中， cs∠E0,0=92-17-0.06967, 0102244 ∴.∠E00g≈86°，∠A01C≈172°. 因此可得AMC所对的圆心角是188°，BVD所对的圆心 角是172°，由弧长公式得 AMC=188×x×30 180 ≈98.42， BWD=172×π×13 180 ≈39.02. .'.皮带长=AB+CD+AMC+BWD =2×243.4+98.42+39.02=624.24(厘米). 至于交叉式情形，读者可照图4-36，按已给数据自己进行计算. 小 结 圆周长：C=rD,C=2rR. 132一 ==========第138页========== 弧长： 1=noR 180(以角度制计算). 弧度：在圆周上取一段弧，使其长度等于半径，这段弧所对的圆心角的大小叫做一弧度. 圆的半径为R,圆心角的弧度值为a,这个角所对的弧长 l=aR. 弧度制与角度制间的关系： 1=不≈0.01745孤度)，1(弧度)-1s0≈57.296°=57°1745". 习题 1,把120°，135°，150°，225°，240°，315°用弧度表示. 2.把1.2,3，号，孤度的各个角，用角度表示. 3.滑轮半径是180毫米，皮带附着滑轮的弧长是200毫米，求这孤所 对的圆心角 4,某机器上的叶片是用钢板弯成的一一段圆弧，它所对的圆心角是120°，半径是150毫米，试求下料时钢板的宽度. B (第4题) —133 ==========第139页========== 5,下图是一条自动化碾米机的管道，尺寸的单位是毫米，求管道的总长. 3000 R1500 R1500 (第5题) 6.已知圆的半径为R,计算圆内接正三边形，正五边形，正六边形的 一边所对的弧长. 第四节圆的面积 一、圆和扇形的面积 我们已经知道了三角形、平行四边形等直线形的面积的计算.圆是曲线形，它的面积如何计算呢？ 设想把圆周划分为许多小段，每小段弧用它所对的弦代替，这许多弦就构成一个圆的内接多边形.我们来看圆面积和它的内接多边形面积的关系. 假定我们先把圆周%等分，顺次连接等分点，画出一个圆的内接正见边形(图4-37)，以a表示正m边形的边长，d表示圆心到正肌边形一·边的距离，那末， d 画出条半径就把这个正%边形分成n个全等的三角形，由于每个三角形的面 图4-37 -134一 ==========第140页========== 积为是a心，故正”边形的面积为 Sn-nad, 或者 8一号% 其中p=a表示正2边形的周长. 当我们把等分数儿成倍增加时，譬如先是12等分，再24等分，再48等分…，这样分割下去，每段孤就越来越短，它的长度也就越来越近于它所对的弦的长度.这时圆内接正多边形的面积S就越来越趋近于圆的面积S(记作S,→S),p就无限趋近于圆周长C(p→C),d也无限趋近于圆的半径 R(d→)，因此根据正多边形面积公式，我们就可以得出圆 的面积S为 S=CB, 2 再以C=2mR代入，得 S=R2 定理圆的面积等于圆周率π乘半径的平方 [例1]一根圆管的外径为160毫米，内径为100毫米，求这圆管横断面的面积 解：显然，所求圆管横断面的面积S等于大圆面积与小 圆面积之差，即 8=x[(10）°-(9)] =3.1416(752-502)≈9818（毫米2）. 即圆管横断面积约等于9818平方毫米. -135 ==========第141页========== 扇形是圆的一·部分，它是由一段弧和过这段弧端点的两条半径围成的图形（图4-38中阴影部分）.扇形的面积可以通过圆面积来计算 把圆周360等分，过每一分点引半径，这样就把圆分成360个全等的扇形，每个扇形所含的圆心角是1°， 因此在半径为R的圆中，圆心角为1 的扇形面积应该等于圆面积π2的 0,圆心角为n°的扇形面积则等1 图4-38 于πR的360〈图438)，故得扇形面积的计算公式为 S=na R2 360 这里九表示扇形圆心角的度数. 180弧度，又 如果扇形圆心角用a弧度表示，则a=n匹 扇形的弧长1=αR,所以上面公式也可写为 S形=a22lR 22 定理扇形的面积等于它的孤长与半径相乘积的一半.[例2]污水从圆形排水管引到郊区溉灌农田，已知管子的半径是120厘米，管内污水最深处是60 0 厘米，问管子截面上有水部分的面 R120 积是多少（图4-39）. 60 解：4-39表示水管的截面， AB为水，管中有水部分的面积， 图439 …136一 ==========第142页========== 就是扇形OAB与三角形OAB面积的差. 由已知0A=120,00=120-60=60, 得 co9∠A0C=3, .∴.∠A0C=60°，∠A0B=120°. ∴.扇形04B的面积S,=120:120 360 =4800元. 又 △0AB的盾积S,-号ABx0C-是×2M0×00 =AC×0C=120sin60°×60=3600√3， .所求面积 S=S1-Sg=4S00x-3600√3≈8844（厘米2）.即管内有水部分面积约等于8844平方厘米， 象上面有水部分的图形叫做弓形，它是由一条弧和弧所对的弦围成的图形 二、展开图的面积 工人同志在用铁皮制造圆柱、圆锥、圆台形的物体时，先要画出它的表面展开图，求出所需钢板面积的大小，然后进行合理下料.现在把这三种物体的表面展开图及其面积的计算方法综述于下. 1.圆柱表面展开图 我们日常看到的钢管、油桶等都是圆柱形物体，它们上下 一般粗，底面是圆形的. 圆柱可以看做是由一个矩形（如图4-40（甲）中OO1A1A), 绕着它的一边O01旋转一周产生的-种立体，线段O01叫圆 柱的轴，AA1叫圆柱的母线，由OA和O1A1旋转分别产生的 -137 ==========第143页========== 两个圆叫圆柱的上底和下底，两底间距离是圆柱的高，母线 AA1旋转所成的叫圆柱的侧面 为了计算圆柱的侧面积，设想沿圆柱侧面的一根母线把侧面剪开摊平，得到如图4-40（乙）所示的一个长方形，这长方形的长等于圆柱底面的周长2mR(R是圆柱底面的半径)， 宽等于圆柱的高H,因此，圆柱的侧面积S侧的计算公式为 S倒=2rRH. 图4-40（乙）中的长方形就是圆柱的侧面展开图，加上表示上下底的两个圆就是圆柱的表面展开图了，所以，圆柱的表面积为 S=2 RH+2aR2=20R(H+R) A 第 母线 2aR 底面半径 (甲) (乙) 图4-40 2.圆锥表面展开图 在工农业生产中，我们也看到许多圆锥体，如车床的顶针，烟囱盖，灯罩，谷堆的顶部等等，它的上部是尖顶，下底是圆. 圆锥可以看做是由一个直角三角形（如图441（甲）的 △VOA)绕着它的一条直角边VO旋转一周产生的.VO叫 --138一 ==========第144页========== 圆锥的轴，V叫页点：VA叫母线，底部的圆叫底面. 沿圆锥侧面的-一根母线剪开，摊平，我们看到圆锥的侧面展开图是一个扇形（图4一41（乙）、（丙）)，扇形的半径是圆锥 的母线，扇形的孤长是圆锥底面的周长C,如果圆锥底面的 半径为R,则圆锥的侧面积与表面积分别为 C=元Rl, S=R+R2=R(14+R), 2 项点 母线 2aR 底面半径 (甲) (乙) (丙) 图4-41 3.圆台表面展开图 日常用的铅桶是圆台形.圆台是一个圆锥被平行于底面的平面所截而成的，它的上底和下底是大小不同的两个圆圆台可以看做是由一个直角梯形绕着垂直于底边的腰旋转一周而得到的， 圆台的侧面展开图是由一个大的扇形截去一个小的扇形构成的（这种图形扇环），这两个扇形的弧长分别为2xR及2rr(图4-42). 设圆台的母线为飞，小弧的半径为'，则大弧的半径为1+!,因此圆台的侧面积为 139-- ==========第145页========== 2元 母线， 2R 轴 (乙) (甲) 2 2旷 (丙) 图4-42 SN=元R(亿+')-r=πl+πU'(R-). 再从图4-42（甲）有 ' 解得 ql U-R-r 代入上面式子中，便得 Sa=+a,(R-, 一140- ==========第146页========== 即 S=(R+r）. 圆台的表面积为 S=元l(R+r）+元(R2+r2). 上面这三种立体：圆柱、圆锥、圆台，都可以看做是由平面图形旋转而成，所以都叫做旋转体、 前面所讲只是儿种最简单的有规则图形的表面积计算，但在实际中，更多的是由这些简单图形组成的组合体，这种组合体的表面积可以通过它的各个组成部分来计算. [例3]求图4-43中阴影部分的面积（图中尺寸的单位为毫米). 解：图中阴影部分面积是一个梯形和上面一个半圆减去中间一个小圆的面积，故 5-(386+20)x10+풀×12-x =280+56×3.14≈455.84（毫米2）. R12 R4 一dt800 -20 36 图4-43 图4-44 [例4幻打捞船上浮简的尺寸如图4-44（单位：毫米），求浮筒的表面积 141 ==========第147页========== 解：浮筒的立体图形是由一个圆柱形和上下两个圆锥形组成，各部分的侧面积分别是 圆柱形： S1=元DH=元×800×800=64×104π， 圆锥形： Sg=πRl=R/R2+h2 =z×400/4002+4502≈元×400×602=240800r, 所以浮筒的表面积 S=S1+2S￥=640000x+2×240800x=1121600×3.14≈3521824， 即浮简的表面积约为3521824平方毫米或3.5平方米.[例5]石油桶高90厘米，内径56厘米，石油的容重是 0.7克/厘米3，求每桶石油的重量 解：由物理学知道：重量=容积×容重，所以在这里我们先要求出石油桶的容积 83 因为石油桶是圆柱形，所以容积V=rRh 09 =3.14×562 2/×90 ≈221558.4， 9 重量W=221568.4×0.7 260 =155090.88(克) -200- ≈155（公斤）. 图4-45 [例6]求图4-45中（单位：毫米）汽锤锤头的重量，已知钢的容重是7.8吨/米3. 解：先求锤头的体积V, ー2- ==========第148页========== 这个锤头是由两部分组成的，上面部分是一个底面为梯形的棱柱，下面部分是一个底面为矩形的棱柱，设这两部分体 积分别为V1及V,则 V1-号79+83)×(210-158)×260=10965120， V2=200×158×260=8216000. ..V=1095120+8216000=9311120(毫米3) ≈0.0093（米3）. .∴.汽锤锤头的重量≈0.0093×7.8=0.073（吨） =73(公斤). [例7]化工厂里有一种沉淀池，上部是圆柱形，下部是圆锥形（如图446，单位：米），求它的容积. 解，圆柱形的容积V=x(92)°×0.8≈70，臣锥形的奔积=名(”26)八×4.4≈106， 所以沉淀池的容积 V=V1+V=709+106=816(米). 一9.6一 30 图446 图4-47 143一 ==========第149页========== [例8]有一个水桶，上口直径30厘米，底直径18厘米，深40厘米，问这个水桶能盛水多少公斤？ 解：这水桶是个圆台形（图4-47）.将已知值代入圆台的体积公式得到 P=号h(r2+R+rB 3.14×40(92-+152+9× 15) ~18463（厘米） 因为1厘米3的水重1克，所以这个水桶能盛水 18463×1=18463(克)≈18.5（公斤）. [例9]某造纸广制造纸浆的蒸球是个空心的大圆球，内径为3.63米，它的容积是多少？ 解：圆球的半径 R-3.63 2 =1.82, 代入球体体积公式得 V=号R=管×1.82≈25.24（米. [例10]一贮油塔上部是球缺，下部是圆柱，尺寸如图4-48所示（单位：米），求塔的容积和表面积. 中15 图4-48 ー144 ==========第150页========== 解：塔顶是个球缺，它的高和底半径依次是 五=3米，少米 由勾股定理（图4-48）， R2=2+(R-h)2, 解出球的半径，得 15 R=2+h2(2+32 2h ≈10.88 2×3 把这些值代入球缺的体积公式，得到 "u=x6(R-合）-元×3(10.8-8）≈279.2.塔的圆柱部分体积 ()×10≈1766.3， 所以塔的体积 V=V袋#+V园柱≈2045.5（米3）. 其次再求塔的表面积： S冠=2mRh=2z×10.88×3≈205， .t=2x(5)×10+(5)》°≈648， 所以塔的表面积 S=S球冠十S因柱≈853（米）. -145- ==========第151页========== 附表1几种简单平面图形的面积 名称： 图 形 字母意义 面积公式 (S表示面积) 正方形 a一边长 S=a3 m一长 长方形 S=ab b一宽 一底边 平行四边形 S=-bh h一高 6一底 三角形 h一高 s-日6h a一上底 梯 形 b一下底 8-是a+h h-高 b R一半径 D S=R3 圆 D-直径 =D2 元一圆周率 R一半径 S=-n 扇 0π的 形 n°-时心角的度数飞一孤长 =1R 2 一弧长 =1 aR2B(R-h) 2 F一半径 1R-b(R-h) 形 0一弓形的底 2 一弓形的高 近似计算公式 圆心角（孤度）=昌+花 3 -146- ==========第152页========== 附表2儿种简单立体的表面积和体积 名称 图 形 字母意义 表面积、体积公式 (公表面积、P体积) S=6c2 正方体 a-棱 V=a 长 S=2(ab+ac+bc) 长方体 b-宽 V=abc b c-高 棱柱 B一底面积 V=hB h-高 B 圆柱 一底圆半径 S=2aR(h+E) h-高 7=元R2h 棱 锥 B一底面积 h一高 v-骨励 五一底圆半径 S=R(1+R) 圆 锥 h-高 1一母线 ”骨牌 ー147 ==========第153页========== (续表) 名称 图 形 字母意义 表面积、体积公式 (S表面积、V体积) B B1一上底面积 台 B2一下底面积 V=(+ B2 h-高 +B1B) 一上底半径 R下底半径 S=で(+B)+π(2+R2) 圆台 1一母线 7=言ha++r动 tR、 h-高 S-4xR2 球 R R一球半径 P音剂 球 B球半径 S球冠=2mBh 冠缺 h一球冠的高 V하(-) -148- ==========第154页========== 习题 1.手榴弹的爆炸半径是15米，求其杀伤面积. 2.活塞直径约为300毫米，蒸汽压力每1毫米2约为0.625公斤，求活 塞所受的蒸汽玉力 3.下图是两种异型断面钢材，一是扇形断面钢材，另一是弓形断面钢材.试按所给尺寸（单位：毫米），求它们的断面面积 26 34.6-→ (第3题) 4.计算面积： (1)一个弓形，它所对的圆心角是60°，半径10厘米，求它的面积； (2)一个圆环，外径丑，内径，求它的面积. 6.两个半径分别是R和3R的圆相外切，求这两个圆的一条外公切线 与切点间圆弧所围成的曲线形的面积. 6.窗框由一弓形和一矩形组成，上边为60°的圆孤，窗高为2.4米，窗宽为1.6米，求窗的面积. 7.圆锥形灯罩的底面直径为20厘米，母线飞为14厘米.求这个灯罩的展开图的面积和圆心角. 8.一台压路机的滚筒长1.2米，直径0.5米，如果它转了10圈，求它 压路的面积， 9.ABCD是边长为a的正方形，以各边为直径在它的内部作半圆形，求每相邻两个半圆形所围成的公共部分的面积. 10.“东风号”货轮主舱中有一节通风管，它是由圆柱面与圆台面组合 而成，其剖面尺寸如图，试计算它的用料面积（单位：厘米）. 11.某种钢制的六角螺帽尺寸如图（单位：毫米），问250只共重多少公 斤？（钢的容重是7.8克/厘米8，） -149- ==========第155页========== *—中10 9 R5 一20 中12 (第10题) (第11题) 12,某一轴承内共装钢珠8粒，钢珠直径为14毫米，原料铬钢的容重为7克/厘米3，求这些钢珠的总重量. 13.玻璃烧瓶的球体部分的内径为110毫米，计算这一部分的容积.14,电磁开关铁芯如图所示（单位：毫米），求它的体积 6e--10-十7.6* 4-920--… (第14题) (第15题) 16.铸工车间所用的钢包如图所示（单位：毫米），求它的容积.16,地球的半径约为6.37×10公里，求地球的面积 复习题 1.某地修建一个田径场跑道.内圈总周长400米，其中两直线部分 各长100米，试计算两端半圆部分的半径R. 2.某地下建筑，上部为弓形，弓形的弦长与半径均为10米，问这弓形的弧长是多长？ -150- ==========第156页========== 3.活塞的锁环是由钢丝做成的、已知中心角是5.93弧度，半径=13毫米，问需要多长钢丝？ 3 5.3 (第3题) (第4题) 4.一种边长α=8毫米的六角螺帽的固定扳手，扳手开口与螺帽间的间隙为0.3毫米.问扳手开口x应设计多大？ 6.从半径为R的圆钢上截出一个正八边形工件，证明它的每边长 a=W√2-√2R. 6.用三个直径为20毫米的圆柱枪验V形槽的角度时（如图），量得 1=5.75毫米，求V形的角度8. (第6题) ?.在轧床上，利用三根轧辊筒转动，可以把钢板轧成圆筒形，如剖面图所示，三个圆表示轧辊筒，底下两个圆的半径是2，距离《是固定的，上面一个圆的半径是"1，位置可以上下调节.如果已知a=40厘米，1=10厘米，2=7.5厘米，钢板厚度b=0.5厘米，今 要把钢板轧成半径R=44厘米的圆筒，问OB的长度应调节到多 少？ -15I ==========第157页========== R 50 e (第7题) (第8题) 8.利用一批直径D=50毫米的圆形铁片废料冲制垫圈，如果每块冲 制四个一样大的塾圈，试计算垫圈的最大直径 9,烟闵上的圆锥形风帽展开图是一个扇形，设其斜高为20厘米，圆锥底面直径为35厘米，试求这扇形铁皮的面积 10.用铅皮制成的圆锥体零件的底面直径为240毫米，高320毫米，这 个圆锥体的侧面展开后成一扇形，试计算这个扇形的半径R,孤长 1,扇形角0 11.一个半径长15厘米，圆心角是216°的扇形，可以卷成高是多少的 圆锥？ 12.要油漆10只圆台形水桶外部的侧面与下底面，每只水桶的上下底 直径分别为30厘米和25厘米，母线长28厘米，已知1米“的面积约需150克油漆，问共需油漆多少？ 13.要做一只能放油90升(1升=1000立方厘米)的油箱，高50厘米.试计算一下，做圆底油箱比做方底油箱能节约多少材料（注：不做盖子，不计加工等损耗) 14,在半径为10厘米的钢球内，以它的一条直径为轴，钻一个直径为 12厘米的圆柱形孔，求钻孔后钢球的表面积 ー152 ==========第158页========== 第五章直线和圆的方程 毛主席教导我们：“在生产斗争和科学实验范围内，人类总是不断发展的，自然界也总是不断发展的，永远不会停止在 一个水平上。因此，人类总得不断地总结经验，有所发现，有所发明，有所创造，有所前进。” 在前面儿章中，我们已经用几何方法初步研究了三角形和圆等图形，但是实践中遇到的图形除三角形和圆之外，还有形状更复杂的曲线.例如子弹运动的轨道、人造卫星绕地球运行的轨道、齿轮的齿形、凸轮的轮廓线等等，因此，要求我们扩充研究图形的范围. 另一方面，实践中很多问题对图形的讨论提出了新的要求，即更精确地定量描写种种曲线。例如，精密机床上各种形状的机械零件，其加工精度要求很高，单单根据作图所得到的形状进行加工往往不能适应要求，需要用数字精确给出加工点的位置.这就要求我们提供新的处理几何问题的方法 解析几何正是适应生产斗争和科学实验的要求而发展起来的，它的特点是通过坐标法，使点与坐标对应起来，使曲线和方程对应起来，从而借助于代数方法来研究几何问题.从本章开始的四章是解析几何的主要内容，其中将研究直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线、螺线、渐开线和摆线等几类重要曲线的方程与性质，着重解决这样两个问题：如何由曲线建立方程以及如何由方程讨论有关曲线的几何性质 -153 ==========第159页========== 第一节点和坐标 在本书代数部分第五章中，我们学过平面直角坐标系.通过坐标法使平面上的点与数对应，是实现“形”和“数”的转化的-一种手段，这种转化为用代数方法研究几何问题创造了条件.因此，在学习解析几何之前，我们先复习坐标的概念，并讨论儿个简单问题 平面上取两根互相垂直的、长度单位相同的数轴，各以它们的交点为原点，这样就构成了一个平面直角坐标系.这两根数轴分别称为心轴与y轴， 统称为坐标轴，数轴的交点O P(x,y） 称为坐标原点，坐标系记为 Oy.建立了坐标系之后，平面 上每一点P对应着唯一的一 对有顺序的实数(c,y)；反过 图5-1 来，每一对有顺序的实数（心，y)也对应着平面上唯一的一点 P.(c,y)称为点P在坐标系Ocy中的坐标（图5-1）. 坐标的概念在生产上有直接的应用.例如坐标镗床，它的纵横两根导轨上有精密的刻度（相当于两坐标轴），要加工的孔的位置用坐标给出，产品可以达到很高的精度 一、距离公式 设P1(心1，y1)与P(x2,y)是平面上两点，我们用坐标来表达它们之间的距离. 过P1、P分别作PM1PgM2垂直于心轴，作P1N1、 -.154- ==========第160页========== PN2垂直于y轴，延长N1P1交PM2于Q(图ǒ-2).因为 P1QP2是直角三角形，由勾股定理得到 P,Pg=√P1Q2+P2Q, 而PQ-MM2=e-l,P2Q=NgN1=-y,所以 P1P=/(x2-)2+2-y1)2. (1) 式(1)称为平面直角坐标系下两点间的距离公式，是解析几何的一个基本公式 P [例1]求P1(-7,3) N-- -iQ 与P(6,一2)两点间的距离. 解：由式(1)，因c2一C1=12,y2-y1=-5,得 M P1Pg=122+(-6)8=13. 图5-2 [例2]计算如图5-3所示（单位：毫米）的齿轮箱孔中 心P1、P和P3两两之间的距离. 430 60- -100 图5-3 解：因为P1、P2和P3的坐标分别为(60,86)，(30,20) 和(100,60)，由式(1)得 ー155 ==========第161页========== P1P2=√(30-60)3+(20-86)=72.5（毫米）， PP3=√100-30)2+(60-20)3=76.2（毫米）， P1P3=√/(100-60)名+(50-86)3=53.8（毫米）. 二、定比分点公式 设P1(1,y1)与Pa(c2,y)是平面上两点，P在线段 1P2上，如果它分PPg成比值为入的两段，即=入，我 们来求P点的坐标(c,y). 2 过P1、P2和P分别作平 行于y轴的直线，与c轴交于 P M1、M2和M(图5-4)，由第二 章关于平行线截得的线段成比例的结论，我们有 MM PP M MM2PPa· 图5-4 当C1x时上式也成立.同祥可得 y=红十入塑 1+元 因此，把点P1(心1，y1)和P2(cg,y)所连线段P1P2分成 P,P=入的分点P的坐标为 定比PP -156-- ==========第162页========== c=心1+A 1+入 2,y=1+塑(入>0). (2) 1+λ 式(2)称为定比分点公式.作为一个重要的特例，当入=1 时，P是线段PP2的中点，我们得到下面的中点公式 ”-含”，y= (3) 2 在物理学中，我们知道一块质量均匀的三角形薄板的重心就是这三角形的三条中线的交点，下面举一个求重心的例子. [例3]已知△ABC三个顶点的坐标A(-3,2),B(0, 一4)，C(3,4),求它的重心M的坐标(c,y). 解：由三角形重心的性质，M是分BC上中线AD 为-2的分点（图5-.由中点公式3），D的坠标为 =0+33 22,4=0， 再由定比分点公式(2)，得M点的 坐标为 3 -3+2 化=1+2 =0, 2+02 1+2-3· 在一般情况，以A1(c1,y1)、 A2(x2,y2)和A3(e3,ya)为顶点的 B △A1A2A3,它的重心的坐标为 图5-5 -(+-+),ー号（-+s+） 作为练习，这个结果留给读者自己推导， ーJ57— ==========第163页========== B(0,) 0 A(a,0) 图5-6 [例4]证明直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等 证明：取坐标系如图5-6，A和B的坐标分别为(a,0) 和O,),AB边上中点M的坐标则为（受，），由距离公 式(1)，得到 4-√a-+(0-T=a,2 BM=√(-이)+(-)a6oM=√(》+(-√a2+b22 所以AM=BM=OI. 值得指出，象上面这样取坐标系，使直角三角形的直角边 在坐标轴上，A、B、O、M各点的坐标就很简单，便于运算. 这说明，在解题时选取适当的坐标系往往可以大大简化证明或运算的过程 三、坐标轴的平移移轴公式 一点的坐标是对一定的坐标系来说的，同一个点，在不同 ー158 ==========第164页========== 坐标系中就有不同的坐标.在很多问题中，为了处理的方便，往往需要从一个坐标系转换到另一个坐标系.下面我们就最简单的情况，导出同一点在两个不同坐标系中的坐标之间的关系. 设O与O'y'是两个不同的坐标系，它们的坐标轴分别平行，即c轴平行于心轴，y轴平行于y轴，而且它们的长度单位都相同.我们可以把一个坐标系看作是由另一个坐标系经过平行移动面得到的，这种坐标系的变换称为坐标轴的平移或移轴.为了确定移轴后坐标系的位置，只要给出移轴后的坐标原点在原来坐标系中的坐标就可以了. 设O'在Oy中的坐标为(a,b),现在要问：平面上任一点P在O'x'则中的坐标(x,y)和在Oy中的坐标(c,y)之间有什么关系？从图6-7容易看出 r=x'十a,y=y+b, (4) 或 a'=x-a,y'=y-b. (5) 式(4)与式(6)均称为移轴公式，它给出了坐标轴平移前后同 一点坐标之间的关系. P(x,y) 9(x',y 0' 图5-7 ー159 ==========第165页========== [例5]平移坐标系Oy,把原点移到O'(2,一1).设A点在O中的坐标为(3,0)，求它在O'ax'y中的坐标(ax,y). 解：由移轴公式(5)， x'=-a=3-2=1,y=y-b=0+1=1, 即所求坐标为(1,1). [例6]对图5-8所示的零件，要求在距两边20毫米和 30毫米处加工一个孔A.在加工时，把零件夹在坐标镗床上， 调整其两边使分别与工作台上两条刻度线O和Oy平行. 平移工作台，使镗刀对准零件两边的交点O',从刻度尺读出 0'的横坐标和纵坐标分别为120毫米和180毫米，求镗孔A 时两条刻度尺上的读数. 解：沿零件两边选取坐标系O'x'y,孔A中心在这个坐标系中的坐标为 x'=30,y=20. O'在坐标系Oy中的坐标为(120,180).由移轴公式 30 ←一120 图5-8 ー160 ==========第166页========== (4),孔A中心在坐标系O则中的坐标为 w=x'+a=30+120=150, y=y'+b=20+180=200, 即孔A中心在Oy中的坐标为(150,200).要使镗刀对准 孔A,两条刻度尺上的读数应分别是150和200毫米. 小结 1.平面直角坐标系是由两根互相垂直的、以交点为公共原点并且长度单位相同的数轴构成的.建立了坐标系之后，平面上的点就可以用一对有顺序的实数(x,)来表示；反之， 一对有顺序的实数(x,y)就对应于平面上一点.(c,y)称为点的坐标， 2.设P1(1,y1)和P(x2,y)是两已知点： (1)两点间距离公式： P1Pg=√(c2-1)+(y2-y1)”. (2)分线段PP2成定比，的分点坐标为 1+入，=班+塑C1+入xg 1+λ (>0). 特别地，线段P1P2中点的坐标为 -4生2，y=1+22 3.只改变坐标原点位置而不改变坐标轴的方向和长度单位的坐标系的变换称为移轴变换， 移轴公式为 x=a'+a,y=y'+b 或 a'=x-a,y'=y-6, -16引- ==========第167页========== 其中(，y)和(x',y)分别是移轴前、后平面上同一点的坐标，(α，b)是移轴后的原点在原来坐标系中的坐标. 习 题 1.在直角坐标系画出下列各点： A(2,7); B(3,0); G(1,-1); D(0,-5); E(-1,2); F(一4，-3). 2.求下面两点之间的距离： (1)(2,1)和(5,1)； (2)(6,0)和(0,5)； 3)（(-,1和(-8号，-3)：(4)(-4,3)和(2，-5). 3.已知一点C到原点和点(25,0)的距离分别为20和15，求C点的 坐标 .已知△ABC三顶点A(-3,2)、B(0,-4)和C(3,4, (1)求各边中点的坐标； (2)证明中位线的长度等于相应底边长度的一半 5.求质量均匀的三角形薄板的重心的坐标，已知它的顶，点为 (1)A(-4,3),B(2,-5),C(0,-6); (2)A(-6,8),B(6,-8),C(8,6). 6.点C<0,2)以定比元=号分A(-2,1)和B两点所连线段，求B点 的坐标 ?、用解析法证明： (1)矩形的两条对角线长度相等； (2)梯形中位线.之长等于上下底之和的一半； (3)设D是△ABO的AB边上的中点，证明 AC+BC=2(AD4CD) (提示：取直角坐标系，使D为原点，AB在x轴上.) 8.坐标系O'x'y是由坐标系Oy移轴得到的，O'在Oy中的坐标为(一1,2)，点M1和M2在0xy中的坐标分别为(3，-1)和(0，-5)，求M1和M2在O'x'y中的坐标 一162-- ==========第168页========== 4 第二节曲线和方程 前面说过，坐标法是研究曲线的一种代数方法，它使曲线和方程联系起来，从而可以通过对方程的研究来了解曲线的性质.本节首先通过简单的例子阐明曲线方程的概念，然后讨论由曲线求方程和由方程作曲线的问题，最后用代数方法处理与圆有关的一些几何问题 一、曲线和方程 在第二章中我们己学过轨迹的概念，知道线段的垂直平分线是到该线段两端点距离相等的动点的轨迹，圆是到一定点（圆心）的距离保持定值（半径之长）的动点的轨迹.解析几何中所研究的一些简单而重要的曲线都可以看作是按一定规则（或几何条件）运动的点的轨迹.这规则（条件）把曲线上的 一切点和不在曲线上的一切点区别开来，从而完整地刻画出这曲线的特征 在本书代数部分第七章中我们已经学过画函数图形的方法，并且知道，一次函数的图形是直线，二次函数的图形是抛物线等等，现在就要反过来问， 一条曲线是否可以用一个关于心，y的方程来表示？ 为了回答这个问题，我们先来看一个简单的例子 考虑平面上圆心在原点，半径为的圆（图5-9）.因为 圆是到定点O的距离为定值？ 图5-9 —163- ==========第169页========== 的动点P的轨迹，所以，动点运动的规则是OP=?.设动点 P的坐标为(，)，则(c,y)就应适合这个规则.由距离公式得OP=√2+g,由此 /2+y2=T, 两边平方得 2+2y2=2. 这就是圆上任意点的坐标所满足的方程 那么，是不是可以用方程2+y2=2来表示圆呢？要肯定这一点，根据轨迹的概念，仅仅知道圆上点的坐标满足该方程是不够的，还必须说明只有圆上点的坐标才满足这个方程，或者说，应说明凡是不在圆上的点，其坐标必定不满足这个方程.事实上，对圆外的点M(c,),OM>r,因此 x2+y2>m2; 类似地，对圆内的点M'(c,y),有 x2+y2<2 也就是说，如果点不在圆上，则其坐标必定不满足方程2+y=2，所以我们可以用x2+y2=2表示圆，称它为圆的方程 “普遍性即存在于特殊性之中”，由这个例子，我们可概括出曲线方程的一般概念. 如果曲线和方程有下述关系：(1)曲线上的点的坐标都满足这方程；（②）满足方程的点都在曲线上，或者不在曲线上的点的坐标都不满足这方程，则称这方程为这条曲线的方程，而称这曲线为方程所表示的曲线.我们再举一个例子. [例1]已知平面上两点P(4,0)与Q(0,2),求线段 PQ的垂直平分线l的方程. -164 ==========第170页========== M' 图5-10 解：垂直平分线！是到线段两端点P和Q距离相等的动 点M的轨迹，动点运动的规则是MP=MQ.设M的坐标为 (心，y),用坐标表示上述运动规列就得到 W/(c-4)+y2=√c2+(g-2)2, 两边平方并化简得 2x-y-3=0. 反过来，对于不在7上的点M'(x',y)有M'P≠M'Q,即 √(ax-4)2+y≠√c+(则-2)a, 它们都是正数，两边平方化简得 2x'-y-3≠0， 即M'的坐标不满足方程.所以，2x一y-3=0是垂直平分线?的方程 从上面的例子可以看到，由曲线求方程的主要步骤是：(①)根据所给条件，选择适当的坐标系；(②)用等量关系列出动点运动的规则； (3)用动点坐标(x,y)表示上面的等量关系，化简得到含和y的方程，就是所求曲线的方程 由曲线求方程，这只是问题的一个方面.另一方面是知道了曲线的方程后，要画出这条曲线. —165- ==========第171页========== 例如，作方程则=4所表示的曲线1.根据曲线方程的函义，对1上任意点(，y)有y=4,所以它在上半平面，且.到轴的距离是4，显然它在： 一条过1。(0,4)而平行于心轴的直线上（图5-11）.反过来，容易验证，这直线上的任：意点M(,y),其坐标也都满足 图5-11 y=4,所以这直线正是y=4所表示的曲线飞. 一般地，平行于心轴的直线，其方程为y=b；平行于y轴的直线，其方程为c=a, 对于一般的曲线方程，可以采用描点法作出曲线的图形 二、圆的方程 上面我们知道了圆心在原点、半径为？的圆的方程为x2十y2一2，用同样方法可以得到圆心在任意点的圆的方程 设圆心在C(,b),半径为 P(a,y r,则对圆上任意点P(c,)有 PC=分（图5-12），由 C'a,b) PC=√(c-a)2÷(gー)3得 (c-a)2+(y-b)3=r2.(6) 图512 容易验证，这方程为圆上点的坐标所满足，不在圆上的点的坐标则不满足.式（⑥）称为圆的标准方程 当圆心取为原点时，=b=0,圆的方程变成 22+2y2=r2. (6) -i66一 ==========第172页========== 这与前面的结果一致.这说明选择适当的坐标系可以使曲线的方程简化 [例2]求圆心为(4,3)、半径为5的圆的方程.解：由式(6)，所求方程为 (-4)8+(y-3)2=62 式(6)是一个关于和y的二次方程，我们来讨论它的特点.展开并按降幂排列，得 x2+y2-2ax-2b则+a2+b2-r2=0, 可见任何一个圆的方程都可以写成下面的形式： x2+y2+2Dc+2By+F=0. (7) 把它和一般形式的二元二次方程 Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 比较，可以看到它有这样的特点：（①）心2项和y2项的系数相等且不为0（在这里为1）；(2)没有交叉项y. 反过来，我们来证明，形如(7)的方程一般表示一个圆.为此，将(7)的左端配方，得 2+2Dx+D2+y2+2E则十E8-D2一E3+F=0,即 (心+D)2+(y+E)3=D2+E2-F 与式（⑥）比较，可以知道，当D严+E2一F>0时，式(T)表示一 个以（一D,一E)为圆心，√D+E一F为半径的圆；当 D2+E2-F=0时，式(7)表示一个点（一D,一E)(半径为零 的“圆)；而当D2十2-F<0时，式(7)不表示任何图形 式（⑥）是圆的标准方程，式(T)称为圆的一般方程.标准 方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点，便于从一般二元二次方程所表示的曲线中把圆区别出来. -167 ==========第173页========== [例3]说明方程x2+y2-2c+4y-4=0表示圆，求出它的圆心和半径. 解：对比方程(7)，这里D=1,E=2,F=一4，而 D2+E2-F=9>0,所以所给方程是一个圆，圆心为(1，一2)， 半径为√D严+E2-F=3 因为圆是最简单的曲线，工广里常用一段一段的圆孤来代替比较复杂的、由理论推导所得的曲线，这种圆弧称为代用圆弧.如果选得适当，误差可以很小.一般，根据理论曲线的图形特征，把它分成几段，在每一 代用圆弧 段中取理论曲线的两端点M、 M2 M2和中间一点M1,以过这三点 M1理论曲线 的圆弧为代用圆弧（图5-13）.这 Mo 一圆弧可用几何作图画出，为提高精度，常采用数值计算的方 图5-13 法，并为计算方便，取M。为坐标原点. [例4幻求过三点0(0,0)，M1(1,1),M2(4,2)的圆 的方程，并求此圆的半径和圆心坐标 解：因为圆心和半径都是待求的，所以用圆的一般方程，由圆上三个已知点的坐标来定出一般方程中的未知系数. 设所求圆的方程为 x2+y2+2Dx+2Eg+F=0, 因为O,M1,M在圆上，把它们的坐标依次代入上述方程， 得到D、E、F的三元一次方程组 F=0, 2D+2E+F+2=0. 8D十42+F+20=0, 解得F=0,D=一4，E=3.于是所求圆的方程为 -168一 ==========第174页========== x2+y2-8+6则=0. 而圆心为(4，一3)，半径为√D2+2-万=5 这种先设曲线的一般方程（系数未知），然后由所给条件定出系数的求解方法叫做待定系数法，是经常用到的一种方法[例5们已知齿轮箱上两个 齿轮的中心分别是O(0,0), A(70,70),第三个齿轮的中心B ,R60 到O、A的距离都是50，求B的 坐标. 解：由B0=50知B点在圆 B 心为0、半径为50的圆周上（图 R60 5-14),所以，B的坐标满足方程 2+y2=2500 图5-14 同理，B点又在圆心为A、半径为50的圆周上，它的坐标应 满足方程 (x-70)2+(y-70)8=2500 所以，B的坐标必定是上面两方程所组成的方程组的解，求 解得 f1=40, fg=30, y1=30, gy2=40, 即点B1(40,30)与B2(30,40)都可以是第三个齿轮中心的 位置 在上述例子中，B1和B2实际上是两个圆的交点，我们是 通过解相应的方程组来求得交点的坐标的.一般地，我们有这样的结论： 两条曲线交点的坐标一定是这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解；反之，曲线方程组的实数解也一定是两曲线 —169一 ==========第175页========== 交点的坐标， 因此，我们可以用解方程组的办法求出曲线交点的坐标。反过来，也可以用作图的方法求方程组的实数解 [例6们]某人民公社要建造一座跨度AB=8米，矢高f 8米的圆弧扶桥（图5-1），试求在等分点Q,,”,处 的撑架P1Q1,P风a,…,P,Q之长. NO QQ:03 Q4 Qs 图5-15 解：取坐标系如图5-15，圆心C在y轴上，其坐标为(0,b).设半径为，则圆的方程为 x2+(y-b)3=r2. 因为A(-4,0),P:(0,)在圆上，所以它们的坐标满 足上述方程，即 42+b2=2, (-)°= 解得6=-3,2169.因此这圆的方程为 +(g+2=169 9 将P6的横坐标G=1代入方程，解得 170 ==========第176页========== 所以撑架PQ长2.55米.同样可求出其他撑架的长，由读 者自己完成. 小 结 1.在给定的直角坐标系中，如果曲线和方程有这样的关系：曲线上的点的坐标满足这方程，而不在曲线上的点的坐标都不满足这方程，则称这方程为这条曲线的方程，称这曲线为这方程所表示的曲线 2,两条曲线交点的坐标是这两曲线的方程所组成的方程组的实数解，因此可以用解方程组的办法求曲线交点的坐标. 3.圆的标准方程为 (-a)3+(gy-b)3=m2, 其中(，b)是圆心，？是半径. 圆的一般方程为 x2+y2+2Dx十2By+F=0, 它的圆心是（一D,一），半径是√/D+E一F, 习 题 1.说明x2+y=16是以坐标原点为圆心，4为半径的圆的方程 2.说明y-√3x是通过坐标原点且与x轴夹角为60°的直线的方程. 3.设1是与两条坐标轴距离相等的点的轨迹，求？的力. 4.动点运动时，它与y轴的距离始终和它与点(3,0)的距离相等，求此动点轨迹的方程 5.已知点A(5,2)与B(-3,5),求线段AB的垂直平分线的方程 ==========第177页========== 6.求圆心在原点、半径为5的圆的方程，判定下列各点中哪些在圆上， 哪些在圆外，哪些在圆内？ (2,3),(0,5),（-3,-),（-3,-2)，(4,-4). 7.已知下述条件，求圆的方程： (1)圆心(2,3)，半径=3； (2)圆心(3,5)，且与y轴相切； (3)圆心（一2,4），且与直线x=1相切 8.试求下列各圆的圆心和半径： (1)(x-6)2+(y+2)2=144; (2)x2+y2-4x-2y-4=0; (3)2x2+2y2-2x-2y-1=0. 9.已知圆心为(1,2)，点(0,2+2V2)在圆上，求圆的方程. 10.设动点M到两定点边：和山的距离之比等于常数：MM2 MM 飞(k中1)，求动点轨迹的方程，这是什么曲线？（可选取坐标系使 M1和M2都在x轴上.) 11,两定点之间的距离为6，动点M到这两定点的距离的平方之和为 26,求M的轨迹（选坐标系如上题）. 12.用解析几何的方法证明：圆内垂直于弦的半径平分此弦（选坐标 系使圆心在原点，并使弦平行于任一坐标轴). 13.某零件的剖面形状如图，AB为圆弧，测得圆弧上三点的坐标为 P1(0,40)、P2(30,50)和P(70,30),试求圆心的坐标和半径之 长 P: P B (第13题) ー172 ==========第178页========== 14.某零件如图，试根据图中尺寸计算交点A、B、C和D的坐标， 60++60 d60 C D./ 60 100 (第14题) 15.已知下述条件，求圆的方程： (1)一直径的两端点为(5，-7)和(-1,1)； (2)过(9,0)且与y轴切于(0,3)； (3)过三点(0,1)，(0.6)和(3,0). 第三节直线的方程 本节将用解析几何方法讨论在生产实践中应用最泛的直线.首先根据几何条件建立直线的方程，然后由直线的方程讨论其几何位置，并揭示直线和一次方程的内在联系. 一、直线的方程 已知直线上一个点和它的方向，这直线就完全确定了.因此，在选定了坐标系之后，根据这几何条件，我们就可以建立直线的方程 为了更确切地说明直线的方向，我们引进直线的倾角这 —173 ==========第179页========== 一概念.所谓直线的倾角，是指x轴（正向）沿逆时针方向旋转，第一次与这直线重分时所转过的角度，记为“，显然 国 0≤<.当直线与x轴平行时，规定a=0.倾角的正切叫做这直线的斜率，记为，即=ga,它表示直线对心轴的倾斜 程度，常用来表示直线的方向。当a=受，即直线与0轴垂 直时，它的斜率不存在 设直线I的斜率为，过 点Mo(o,o),我们来导出它 M (a.y) 的方程 ーーN 在图5-16中（这里讨论的 Mo(n:yo) 是≥0即0≤a<-的情况对于飞<0的情况，可同样讨 图5-16 论)，设M(,y)是7上任意 一点.过M。作平行于c轴的直线，过M作平行于y轴的直线，它们相交于N.由于直角三角形MoNM中∠MMoN=a,可知M点适合条件 NM k=gu=MoN· 由于 NM=y一o MoN 0-100 所以 k=义二0 0’ 即点M(x,y)的坐标必须满足方程 y-0=k(-0). (8) 反之，凡是满足这方程的点(，y)都在直线！上，因为点 -174一… ==========第180页========== (x,y)与点Mo(o,yo)的连线的斜率为.因此式(8)是直线？的方程 式《8)称为直线的点斜式方程.当倾角a=受，即直线垂 直于￠轴时，斜率不存在，但我们知道，这时直线的方程取心=a的形式.由此可知，直线的方程是c,y的一次方程 [例山已知直线1过，3，可，斜率=号，求1的方 程 解：由式（⑧），1的方程是 y-6-号e-8, 化简得 1 y=3+4. 作为一种特殊情况，当Mo是y轴上一点(0，b)时，式(8)变为 y=kac+b. (9) 式（⑨）称为直线的斜截式方程，b称为直线在y轴上的截距，简称纵截距，它是直线与y轴交点的纵坐标.上面例1中直线↓的两个方程，前一个是点斜式方程，经化简后得到的是斜截式方程，它的纵截距b=4, M 除了一个点和一个方向决定 一条直线外，两个点也唯一地决定一条直线.现在我们来讨论通过两已知点的直线方程， 图5-17 设已知两点为M1(1,y1),Ma(2,ya)(图5-17).当 175 ==========第181页========== 心1=2时，显然（垂直于x轴，它的方程是=心1.而当1卡≠c2时，我们取一个已知点M1(1,y1),把？的方程写成点斜式y一y1=(一心1)，其中是待定常数.再将点M?的坐标(2,y)代入，得 y2一y1=k(xg一1)， 即 h=V2-01 (10) ℃2一化1 式(10)给出了过两已知点的直线的斜率.因此，由两点 M:(1,y1)和M2(c2,ya)决定的直线{的方程为 yーgı=9(-1). (11) T2一北1 式(11)称为直线的两点式方程 [例2]求过两点P(1,2)和Q(3,5)的直线↓的方程 解：由式(11)，1的方程是 -26-2 3-1 (-1), 化简得 3x-2y+1=0. [例3]光线从点M(-3,6)射到点P(1,0),被轴 (镜面)所反射（图6-18），求反射光线的方程. M(-3.6) 0P1.0) 图5-18 -—176 ==========第182页========== 解：根据光的反射定律，∠c:=∠B,所以反射光线1的斜率为 飞=tgB=ga, 由式(10)可得过点M和P的直线（其倾角为π一）的斜率为 tg(a-a)--6 3 -3-12 于是 k-tga- 所以1的方程为 g--1 即 3ax-2y-3=0. 二、一次方程与直线 由上面的讨论可知，不论直线在平面上的位置如何，它的方程都是心和y的一次方程.反过来，一次方程的图形是否 一定是直线呢？ ⑦，y的一次方程的一般形式为 Aa:+By+C=0, (12) 其中A,B不同时为0. 当B≠0时，式(12)可化为 y---음 与斜裁式⑨)比较，可知它正是斜率-一分、纵截距6一分的直线的方程.特别，如A=0,则y=一月，它是一条过点 ー177 ==========第183页========== (0,-)而平行于r轴的直线 当B=0时，因为A÷0,式(12)可化为 、C 它是一条过点(-牙，0）而平行于y轴的直线 总之，二元一次方程A+B则+C=0的图形是一条直线， 所以方程(12)称为直线的一般方程，系数A,B,C有上面所 说的几何意义. 综上所述可以得出结论：直线是二元一次方程的儿何表示（即图形），而二元一次方程是直线的解析表示（即直线的方程) [例4幻求直线花-2则+3=0的斜率和纵截距b,并作出它的图形 解：将方程变形为斜截式： 공+를显然斜率=子，队裁距=号、 为了画出直线！的图形，只 图5-19 要任意确定！上两点就可以了，现在已经知道！与y轴的交 点P0,),所以需要再找一点：最方便的是求它与0铺的 交点Q,为此把y=0代入方程得心=一3，即Q的坐标为 (一3,0)（图5-19）.连接P、Q两点即得直线1. 小 结 1.直线方程有下列各种形式，其中点斜式是基本的： }78 ==========第184页========== (1)点斜式已知斜率和直线上一点(o,yo),直线方程为 y-yo=(w-0). (2)斜截式已知斜率和纵截距五，直线方程为 y=+b. (3)两点式已知直线上两点(1，y1)和(，y)，直线方程为 g-h=e-班(c-) C2—01 或 一心1=型一1 g一1一1 (④)一般式 A心+By+C=0, 其中A,B不同时为0. 何 2.在平面直角坐标系中，直线的方程是二元一次方程； 二元一次方程表示一条直线. 习 题 1.已知下列条件，求直线的方程： (1)过点(3,5)，斜率k=2;'· (②)过点(-2,3)，倾角a=言； (3)过点(0,0)，倾角a=骨 (4)斜率飞=3，纵截距b=5; 2 (⑤)斜率=专，纵截距6=一1 (6)倾角a=聋，纵截距b=6;3 (7)过两点(2,1)和(7,5)； -179一 ==========第185页========== 4 (8)过两点(2，一1)和(1,3)； (9)与x轴交于(4,0)，与y轴交于(0,5)； (10)与x轴交于(-4,0)，斜率飞=. 2.写出下列直线的斜率和纵截距，并作出图形： (1)x=5y-2: ②9=子-9 (3)3x-2y=0; (4)3x-2y-6=0; (6)풀++1=0 3.证明三点(-2,12)、(1,3)和(4，-6)在一直线上. 4.已知下述条件，求直线1的斜率和它的方程： (1)过点(3,5)，和直线y=2x-4平行； (2)过点(1,2)，和直线y=V√3x垂直； (3)过点(2，-3)，平行于两点A(1,2)、B(-1,-5)的连线 6.设直线1与x轴、y轴分别交于点(a,O)、(0,b),证明1的方程为 +号=1.a (上式称为直线的截距式方程，)6、证明三角形的三条中线交于一点. 第四节直线和直线、直线和圆的位置关系 在建立了直线和圆的方程之后，就可以用代数方法讨论直线和直线、直线和圆的相互位置关系了，这包括两直线的垂直和平行、圆与直线相切等几何问题.工厂中很多机械零件、建筑上很多结构形式都是由直线和圆弧组成的，因此这节的内容也有不少实际的应用. 两直线的交点，根据第二节的结论，可以通过解这两直线的方程所组成的方程组而求得.下面举一个例子 [例1]设直线Z1和12的方程分别为3c+5y一25=0 …{80 ==========第186页========== 和心一y一3=0，求它们交点的坐标 解：两直线1和的方程所组成的方程组为 3w+5y-25=0, -y-3=0, 解这个方程组得到 w=5,y=2. 所以1和的交点的坐标为(5,2). 一、两直线的交角及平行、垂直条件 为便于研究，我们规定：直线1到直线2的交角是指逆时针方向旋转，第一次与2重合时所转过的角度，显然，它在0到亚之间.设两直线的方程为 :y=k1+b1, le:y=hx+62, 并设a1和2分别为1和2的倾角，p为1到2的交角（图5-20),则 k1=tg a1,ks=tg a2,p=a一a1（ag≥a1) 0 (甲) (乙) 图5-20 ==========第187页========== 或 p=元+a2-at（&2<1)。 根据三角中的和！角公式得 tg p=tg (a3-a1) tgs aa-tg a, 1+tg aitg aa 即 k2一而1 tgp=1十12 (13) 当1和2由一般方程 1:A1c+B1g+C1=0, 2:A2x+B+C2=0 时，一一会和ー A代入(13)，得到 tg 9=ABa-A3B (14) A1A2+B1Bg· 式(13)和(14)都是求两直线间交角的公式. 作为特殊情况，可以得到两直线平行的条件和垂直的条件： (1)11与平行的条件是p=0,即 h1=he (15) 或 A1B2-A2B1=0. (16) (②)与，垂直的条件是0=受，即 hlg=-1 (17) 或 A1A2十B1B4=0. (18) [例2]求过点M(2,3)并和直线：2-3y+1=0平行的直线的方程。 ー182 ==========第188页========== 解：1的斜事-景与1平行，它的斜率-=会 由点斜式，′的方程为 y-3-号(-2)， 即 2a-3y+5=0. [例3]已知个ABC三个顶点为A(1,2),B(4,1), C(3,4),求AB上的高CD所在直线U的方程（图5-21）. 12 A D B 图5-21 解：直线AB的斜率为 kAB=1-2-- 4一1 3. ?与直线AB垂直，所以它的斜率为 h=ー13. AB 由点斜式，？的方程为 则-4=3(-3)， 即 3x-y-5=0 [例4幻求直线11到g的交角，已知 ー183 ==========第189页========== 1:y=2a+3,12:3x+y-6=0. 解：因为k1=2.-3,由式(13)得 -3-2 g9=1+2-8=1, 所以到4的交角p=平 [例5]图5-22为某飞机机翼的平面图，试根据图中尺 寸（单位：毫米），计算斜肋DE之长. 解：取坐标系如图所 示.斜肋DE的长可由D、E 两点的坐标用距离公式算 品 出.D的坐标为 A xD=3000, yD=3000tg30°=1732， 009 而E是BC和DE的交点，所 30 3000一 以要先求BC和DE的方 5000- 程 图5-22 因直线DE垂直于OA,而ko4=/3所以 んDE= 1_=-√3=-1.72， OA 由点斜式得DE的方程为 g—1732=-1.732(c-3000), 即 1.732x+y-6928=0. 直线CB过点C(0,2000)和B,而B的坐标为 cz=5000,ya=5000tg30°+500=3387， 由两点式得BC的方程为 c=g-2000 6000-1387广 -{84-- ==========第190页========== 即 1387a-5000y+10000000=0. 解DE和CB的方程所组成的方程组，得召点的坐标为 xE=2452,yE=2680, 根据距离公式得DE的长度 DE=√(2452-3000)+(2680-1732)=1095（毫米）. 二、直线和圆的相交、相切 圆和直线的相互位置，可分三种情况，即相交（有两个交点)，相切（两个交点重合为一点），相离（没有公共点）.这些情况都可以用解方程组的办法来讨论.下面通过一些例子来说明. [例6们已知圆的方程2+y2=25和直线的方程x-7则+25=0,求这两曲线的交点， 解：这两曲线的交点必须满足两曲线的方程所组成的方程组 x2+y2=26, x-7y+25=0, 解这方程组，得两组实数解 x1=3,y1=4 和 x2=-4,y=3. 这表明所求交点有两个，即(3,4)和（一4,3）. [例7]已知直线方程2-y+/5=0和圆的方程x2+y2=1,求这两曲线的交点. 解：将这两曲线的方程联立并解这方程组，得到相同的两组解 —185— ==========第191页========== 2√5 y 1=2=一 59 V5 u1=リ2=5 这表明直线和圆的两个交点重合为一点P,它的坐标为 (是5，)也就是说，直线和圆相切，P点是切点。 由此可知： 如果两条曲线的方程所组成的方程组的两组实数解相同，即这两条曲线的两个交点重合时，这两条曲线相切，这组实数解就是切点的坐标 利用这一原理，我们可以求出圆的切线方程. [例8]已知圆的方程为+2=16，求它的斜率为k=一1的切线方程. 解：可设切线方程为 y=-花+b, 其中b是待定常数，它和圆的方程所组成的方程组 c2+y2-16, y=-x十6， 应有两组相同的解.把后一方程代入前一方程，得一元二次方程 2ax2-2bx+b2-16=0. 它有重根的条件为(B2-4AC =0) 4b3-8(62-16)=0, 解得b=±4W2, 所以所求切线方程为（图5-23） 图5-23 186一 ==========第192页========== g=ー+4√2与=--4√2。 [例9]图5-24为某工件的剖面图，试根据图上尺寸（单 位：毫米)计算P点到端面MN的距离 解：取坐标系如图所示.P点是直线AP和圆弧PN 的交点.我们先求出它们的方程，然后解方程组得交点的横坐标化，即所求的距离. Q 中36 R75 118 图5-24 设直线AP的方程为y-一o=k(一x),因点A(118,0)在直线上，所以则=(x一118)，它是以B为圆心、18为半径的圆的切线，根据上面求切线的方法，待定的必须使方程组 (c-18)2+(y-30)3=182, y=k(x-118) 的两组解相同 将第二式代入第一式以消去，展开并合并同类项得(1+k2)x2-2[18+k(118+30)]w十(118k+30)=0,它有重根的条件为 [18+k(118k+30)]2-(1+k2)(118k+30)2=0, -187一 ==========第193页========== 化简得 2419k3÷1500+144=0. 解得 k1=-0.50,k2=-0.12. 从图上可见，AP的斜率应取1、中绝对值较大者，所以 应取k1=-0.50,于是切线AP的方程为 y=59-0.5x 圆弧PN的中心为Q(0,75),半径为75，它的方程为 c2+(gy-76)2=752. 最后求AP和PN的交点P的横坐标c,即解方程组 y=59-0.6x, x2+(y-75)8=762, 得 c1=59.4,x2=-72.2(不合题意)， 所以P到MN的距离为=59.4毫米. 三、点到直线的距离 已知直线1： y=1oa+b 和线外一点Po(o,o),我们来求点P。到直线1的距离. 过Po作y轴的平行线和l的垂线，分别交I于Q和M (图5-25)，则点P。到直线1 的距离 加 月Q1,1) d=PoM=PoQ cosa, 1 其中α是↓的倾角.设Q的华 Po (ao,yo) 标为(c1,y1),因为它在1上 0 且C1=xo,得y1=kxo+b,所以 图5-25 --188-- ==========第194页========== PoQ=90-911=190-kao-b. 由ga=得cosa=11 √1+g2a“1+,因此d=140-hao-6 (19) /1+k2 式(19)就是点(ao,yo)到直线y=x+b的距离的计算公式. 当直线方程取一般式4证十y+C-0时，以：=一会和b=-号代入式(1)，化箭可得 d=1Axo+Byo+C (20) VA2+B 式(20)是点(，o)到直线Aw+B则+C=0的距离的计算公式 [例10们求点(3,2)到直线3心-4y+9=0的距离.解：由式(20)得 d=|3×3-4×2+91 32+42 =2. 用点到直线的距离公式来求圆的切线是非常方便的，因为圆心到圆的切线的距离恰为半径之长， [例11]求圆x+y2=1的过A(2,1)的切线的方程.解：所求的切线方程可写为 y-1=k(c-2), 其中飞待定.因为圆心(0,0)到它的距离d=1,我们有 d=1-2%1 V1+=1, 4 解得1=0和，=多，由此，两条切线的方程分别为 189 ==========第195页========== y=1,4w-3则-5=0. [例12]一钣制零件如图5-26所示，试按照图上尺寸求圆弧R60的中心Q(co,yo)的横坐标o. 53°8 6 200 图5-26 解：因为圆弧R0与直线1相切，所以Q到1的距离 d=50,且它的纵坐标yo=120.根据这些条件，我们来定出心o. ?的倾角=116°34，斜率而=tga=一2，它的方程为 y=-2(g-100). 上面所说的Q所满足的条件即为 d=120+2-100l=50, W1+22 解得 o=95.9和-15.9， 根据题意，Q的横坐标应为=95.9（毫米）. 小 结 1.两直线 l1:A1c+B1y+C1=0, 1g:Aw+B则+Cg=0 -190 ==========第196页========== 之间的关系有 (1)交角公式： tg o= A.B2-B:A3 A1A2+BB2 (2)平行条件： A2 (3)垂直条件：A1A2+B1B2=0. 2.当一直线和一圆的方程所组成的方程组的两组实数解相同时，即它们的两个交点重合时，直线和圆相切，这组实数解就是切点的坐标. 3.点Po(co,o)到直线：Ax+By十C=0的距离为 d=」Aam+B+CL N√A2+B2 习 题 1,判别下列各对直线是平行还是相交；如果相交，求出它们交点的坐标，在相交直线中指出哪几对是垂直的： (1)3x+4y=5,6x+8y=7 (2)3x+4y=1,x=5y; (3)y=3x+4,2y-6x+1=0; ④y=+5,3+y+4=0y (⑤y=4+5,-圣-y=0 (6)5x+y=1,x-5y=4; (7)6x+2y=7,x-3y=4; (8)3x+4划=5,4x-3y=5; (9)6x+2y=4,x+3y=7;(10)x=2y+5,2x-4划=6. …19引… ==========第197页========== 2.求下列各对直线的交角和交点坐标：(y=弓2+2，y=3x-73 (2y=3z-1,y=-号+4 (3)4x+3y-1=0,x+2y=0. 3.求过点(1,1)并与直线=1-司的交角为60°的直线的方程.这 样的直线有几条？ 4.已知下列条件，求直线的方程： (1)过点（一3,4）且平行于直线5x+4y=6; (2)过点(4，一3)且垂直于两点(4,1)和(7,3)的连线； (3)过两直线3x-y一3=0和4x+3y一4=0的交点，且垂直于第 一条直线； (4)纵截距为b=3且和直线2x-3y+6=0垂直； (5)过点(-1,3)且过两直线2x+5y-14=0和4c一3y+11=0 的交点. 5.已知直线ax+2y+8=0经过两直线4x+3y=0和2x一y=10的交点，求a的值 6.已知两点A(一3,1)和B(3,-7),试在y轴上求出点M,使AM 与B]1垂直. ?.用解析法证明半圆上的圆周角为一直角 8.求圆x2+y=100和下面直线的交点，并说明哪条是切线： (1)x-7y+50=0; (2)3x-4y-50=0. 9.证明团2+y2-18:+43-0和直线ーー2相 10.求下列各题中所给点到所给直线的距离： (1)直线3x+4y+3=0和点(2,3)； (2)直线12x+5y-3=0和点(-5，-7)； (3)直线2x=3y和点(1,5). 11.根据下列条件，写出直线1的方程： (山)1的倾角为吾，原点到1的距离为5V; -192- ==========第198页========== (2)1的斜率为1，原点到1的距离为5. 12.已知圆x2+y2=4和圆外一点A(-5,0),试问过A点的直线在下 列三种不同情况下的斜率飞是多少？ (1)直线和圆相切； (2)直线和圆相交； (3)直线和圆相离，并求出相 R5 切情况下切点的坐标 13.有一冲模如图所示，用线切割 机加工时须要知道圆弧5的 -20 中心？，试根据图上尺寸计算出的坐标 (第13题) 14.求以M(1,4)为圆.心且与直线4-3y一4=0相切的圆的方程， 复习题 1.一边长为a的正六边形在如图所示坐标系中，试求各顶点的坐标. 19 B2 9 B B A1 0 B Be Bs (第1题) 2,证明以A(3,2),B(6,5),C(1,10)为顶点的三角形是直角三角 形. 3,点M在x轴上，它到原点的距离等于到点（一5,3）的距离，试求点1的坐标， 4.已知三角形的两顶点A(3,T),B(一2,5)，求第三个顶点C,使 AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上. -193 ==========第199页========== 5.已知三角形的两顶点A(2,2),B(3,0)和重心M(3,1),试求第 三个顶点C, 6.一艘渔船在某岛东34浬、北2浬的海面上遇险，海轮“长风号”正在该岛东10浬，南5浬处行驶，该轮接到信号后立即以20浬/小时的速度前往营救，问多少时间才能赶到出事地，点？ 7.已知下列条件，求直线的方程： ①)过点(-3,4)且倾角为星 (2)过两直线2x-3y-1=0和3c-y-2=0的交点且垂直于直线 y=0; (3)过两直线x+y-1=0,x-y+2=0的交点和点(2,1)； (4)过两直线x一y-3=0和2x+3y-1=0的交点且平行于直线 5c-4y-17=0 8.已知直线1：2x+5y-20=0,试求： (I)(与两坐标轴所围成的三角形的面积； (②)？夹在两坐标轴之间线段的长度， 9.方程3+y2=x表示什么图形？ 10.设动点M到点A(3,0)的距离等于它到点B(一6,0)的距离的一 半，试求M点的轨迹 11.设动点M到两定点（一w,0)和(u,0)的连线互相垂直，试求点M 的轨迹 12.已知圆的方程x2+y2=4x,求由圆周上定点P(a,b)所作各弦的 中点M(x,y)的轨迹. 13.设点P在直线3c+2-5=0上，它到点（一1，-1）和(3,3)有相 等的距离，试求点P的坐标 14,已知两直线 71:3+4y-10=0,12:4x+6y+7=0, (1)证明任何过1与2交点P的直线方程可写为 入(3x+4y-10)+w(4x+6y+7)=0(入，不全为0)； (②)试求过点P与点(4，一7)的直线. 15.已知直线1过点A(5,2),且点B(一3,1)到它的距离为4，试求 飞的方程 -194一 ==========第200页========== 16,求直线3x+4y-9=0与直线12x+9y-8=0的交角的平分线的方程， 17.已知△ABC三顶点坐标为A(1,2),B(4,1),C(3,4),求： (1)△ABC的三条中线的方程； (2)△ABC的外接圆的圆心与半径； (3)BC边上的高所在直线的方程； (4)过A且平行于BC的直线的方程； (5)△ABC的面积： (6)∠A,∠B,∠O的值. 8.用解析法证明三角形的三条高相交于一点， 19.求与原点及直线x+4=3等距离的点的轨迹 0.用解析法证明等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高 195 ==========第201页========== 》 第六章抛物线椭圆双曲线 在三大革命实践中，除了直线和圆构成的图形外，还常常過到一一些其他曲线.例如，在道路建筑中，路拱常做成抛物线形状；机床上有些机械零件的轮廓线是椭圆；航海中常利用双曲线导航系统等.这三种曲线是最基本的曲线，有着极其广泛的应用，需要我们作深入的讨论. 在这一章中，我们首先给出抛物线、椭圆和双曲线的定义，并选择适当的坐标系建立它们的方程，然后用代数方法研 强 究这些曲线的性质 第一节抛物线 正如恩格斯曾经指出的：“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的。”①抛物线的概念是从抛射体运动的轨迹曲线（在不考虑空气阻力时）得到的.例如，投掷出的手榴弹和发射出的炮弹，它们运动的轨迹就都是抛物线. 抛物线在实践中也有广泛的应用.例如汽车前灯的反射镜面就是一个由抛物线绕其对称轴旋转所生成的曲面一一抛物面.为什么采用抛物面作为反射镜面以及如何加工抛物面，这都是与抛物线几何性质紧密联系的 ①恩格斯：《反杜林论》，入民出版社1970年版，第35页。 196一 ==========第202页========== 一、抛物线的定义和标准方程 在第五章中我们曾说过，曲线可以看作是按一定规律运动的点的轨迹.下面就用轨迹条件来给出抛物线的定义， 定义到一个定点和到一条定直线的距离相等的动点的轨迹称为抛物线.这定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线， 根据上述定义，我们来推导抛物线的方程 ,y) 如图6-1，以过焦点F 且垂直于准线1的直线为y轴，y轴和1相交于E,以线段E的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系 图6-1 设EF=p(p>0),且点F在心轴的上方，则点F的坐标 为(o,),准线1的方程为y=ー・ 设M(,y)为抛物线上任-一点，连MF,并作MN⊥1， N为垂足.由抛物线的定义，有 MF-MN. 由距离公式得 F-V+(-, 而 MN=y+号， 因此 Vx+(-2)-y+. -|97-- ==========第203页========== 两边平方并化简得 x2=2py(p>0). 由于M(心，y)为抛物线上任一点，所以抛物线上的点的坐标都适合这方程.反之，设点M(,y)的坐标适合这方程，它是不是一定在抛物线上呢？由于 ME-1+(y-2) -√2测+y2-四+至 √+)=|ッ+， 即M到焦点的距离等于M到准线的距离，所以点M在抛 物线上.这表明上面的方程是抛物线在所取坐标系中的方程. 如果取焦点F在心轴下方，准线在x轴上方，则用同样的方法可推得抛物线方程为 a2=-2py(p>0). 我们引入4，。=士易则上面的两种方程可统一写成 y=a心2 (1) 方程(1)称为抛物线的标准方程.显然，抛物线y=ac2的焦 i 点是F0,a),准线是弘，y=一4a 二、抛物线的图形 要了解抛物线的形状，可以根据它的方程，采用代数中讲过的描点法作出它的图形来分析.图6-2就是用描点法作出的则=Qx2的图形. -|98 ==========第204页========== 习脚成视之 M'(一-，y) M(,y) 0. 图6-2 下面我们参照抛物线的图形，从它的方程来分析它的儿何性质 1.对称性 从抛物线的图形看出，抛物线y=ac2有一根对称轴，就是y轴.它的方程y=2也说明了这-一点.因为方程中心只以平方项出现，所以如果(，y)满足方程，则（一c,y)也满足方程.这就是说，曲线上任意点M(c,y)关于y轴的对称点 M'(一心，y)也在曲线上，所以抛物线关于y轴对称，y轴为抛物线y=ax2的对称轴 一般地，如果方程中公只以平方项出现，则曲线关于y轴对称；如果方程中y只以平方项出现，则曲线关于心轴对称， 2.顶点 抛物线与它的对称轴的交点称为抛物线的顶点.显然，抛物线y=ax2的顶点是坐标原点O(0,0). 3.抛物线的开口 抛物线是一条无限伸展的曲线，现在以抛物线y=ax的图形为例，分析抛物线开口的方向、大小与系数的关系，为此取a=一1，-2,1,2，作出四条抛物线L-1,L-2,工1，L2, 199 ==========第205页========== 如图6-3所示，我们看到，I1和工g的开口向上，D-1和L-a 的开口向下；L2,L-的开口比1，L1的开口窄. 一般地，对抛物线y=22,当a>0时开口向上，当a<0时开口向下；a的绝对值愈大，则开口愈窄. 这些事实可以由方程y=:x2来说明，请读者自已讨论. x=ay? 图6-3 图6-4 另外，如果取坐标系如图6-4所示，则可导出抛物线的标准方程为=y2,它的对称轴为轴，顶点是坐标原点，焦点 是(，0以.当a>0时开口向右，当a<0时开日陶左，a愈 大则开口愈窄. [例1]作出下列抛物线的图形： L: y=-4ax2, : 2-2y2=0. 解：根据上面的讨论，L的顶点在原点，以y轴为对称 轴，图形在0轴下方且开日向下.V的方程可写为-豆， -200一 ==========第206页========== i 它的顶点在原点，以心轴为对称轴，图形在y轴右方且开口向右，基于上述分析，再由方程算出曲线上·些点的坐标，用描点法就可以作出工和'的图形（图6-5,6-6）. 图6-5 图6-6 [例2]汽车前灯的反射镜面为一旋转抛物面，在加工反射面时，需要确定转成这抛物面的抛物线方程.现已知顶点到焦点距离为27毫米，求此抛物线的方程 解：设抛物线的方程为 x-ay2, 其中a是待定系数. 因为抛物线=ay的顶点在(0,0)，焦点在(0,0，所以焦点与顶点的距离为、根据已知条件有 1=27,即a1 4a 108· 所以，抛物线方程为 =102. -20}一 ==========第207页========== 三、抛物线的光学性质 抛物线除了上面提到的那些性质外，还有一个重要性质，这就是：从放在抛物线的焦点处的点光源发出的光线，经过抛物线反射后，成为一束和抛物线的对称轴平行的光线.采用抛物面作为反射镜面正是利用了抛物线的这一光学性质.抛物线为什么具有这一性质？这就涉及到它的切线和法线问题. 1.抛物线的切线 一条与抛物线相交于两点的直线称为抛物线的割线，当割线与抛物线的两交点沿着抛物线逐渐靠近，重合为一点的时候，就称这直线为抛物线的切线，重合点是切点.下面我们来讨论抛物线的切线问题 设抛物线方程为化=ay2，Mo(2y哈，yo)是抛物线上任一点，我们来确定斜率，使直线y一yo=k(c一2)是抛物线在 M。点的切线（图6-7）.为此，考虑方程组 龙=agy2,y-yo=k (a-ayd). 2 =ay 气(ay6,o) 图6-7 ー202 ==========第208页========== 要使直线成为抛物线的切线，这个方程组必须有两组相同的实数解.现在我们来解这个方程组 将第一式代入第二式消去，得到一元二次方程 y-40=ak (y2-93), 上式可写为 kg-w(g+9-5）=0, 它的两个实根是 1 y1=y0和y2=ak-4o. 要使=，必须0=1k一o,即 k一2ayo (2) 这就是抛物线c=y2在点Mo(y,yo)处切线斜率的表达式.由此可得切线方程为 a+co=2ayoy. [例3]求抛物线=32在Mo(3,一1)处的切线方程.解：因a=3,=3,0=-1,故所求切线方程为 c+3=-6y, 即 +6y+3=0 同理，抛物线y=aac2在其上一点Mo(xo,yo)处的切线斜率为飞=2aco,切线方程为 4+40=2acoc, 2.抛物线的法线 过曲线上一点且与曲线在该点的切线垂直的直线称为曲线在这一点的法线，抛物线的法线有如下的重要性质， -203- ==========第209页========== 性质设点M为抛物线上任一点（图6-8），MN为抛物 线在M点的法线，F是抛 物线的焦点，ME是平行 于抛物线对称轴的直线， 则法线MN平分∠FME, 即p1=92. 证明选取坐标系如图6-8，这时抛物线方程为 a=ay2. 设点M的坐标为(o,o), MI'为切线，则MT的斜 图6-8 x=ay2 率为 1 2ayo从而法线MN的斜率为-2n, 由于ME平行于您轴（抛物线的对称轴），所以p2兰p3,为证明p1=p2,只须证明p1=p3即可，也就是，只要证明△FMN的两边FM和FN相等(N为MN与c轴的交点). 一方面，由抛物线的定义， FM-MG=4o+4a'1 这里G是ME与准线的交点.另一方面，法线的方程为 y-0=-2ayo(-0o）, 由此可求得法线与x轴的交点矿的坐标为(+2,0）， 所以 =0N-0P=+易-=6+ 即 FN=FM, 故 P1=93=92. ー204 ==========第210页========== 3.抛物线的光学性质 根据抛物线法线的性质，可以得到抛物线的光学性质：从抛物线焦点处的点光源发出的光线，经过抛物线反射后，成为 一束和抛物线的对称轴平行的光线（图6-9） 事实上，设FM是由焦点F 发出的任意一条光线，ME是 FM经抛物线反射后的光线.根 据光学中的反射定律：入射角（入射光线与法线所夹的角)等于反射角（反射光线与法线所夹的角），所以，由抛物线法线的性质，可知 ME平行于抛物线的对称轴（见 图6-8). 图69 这样，当反射镜面采用由抛物线绕其对称轴旋转而生成的抛物面时，如果把点光源放在抛物线的焦点处，那末它发出的光线经过镜面反射后将成为一束平行光线. 汽车前灯就是利用抛物线的这一光学性质，以达到光效高，照明射程远的目的.根据同一原理，探照灯、手电简等也都采用抛物面作为反射镜面 反之，平行于对称轴的光线，经过抛物面反射后汇聚到焦点.太阳能灶的聚光镜就是根据这一原理设计的 [例4幻探照灯的反射镜面是抛物线绕其对称轴旋转一周生成的曲面，在Ocy坐标系中抛物线方程为=1603y,问灯泡应放在何处？ 解：根据抛物镜面的反射原理，应将灯泡放在抛物线的焦点处 205-- ==========第211页========== 我们知道，抛物线x=a的焦点在（品，0）处.现在方程为x=0,它的焦点为(40,0).所以灯泡应放在 1 F(40,0)处. 四、y=ax2+bx+C的图形 前面我们已经知道则=ac2的图形是一条抛物线，其对称轴为y轴，顶点为坐标原点.那末，y=a2+bx+c的图形是怎样的呢？我们先讨论顶点不在原点，而对称轴平行于y轴的抛物线， 设抛物线的顶点在M(co,o),对称轴为x=0(平行于y O(xo,Yo) 轴).为了求出抛物线的方程， 0 将坐标系平移，使平移后坐标 图6-10 系O'c'的原点为M。.这时，在坐标系O'x'y中，由于抛物 线的对称轴为则轴，顶点为原点O'(图6-10)，它的方程取形式 y'=ax'2, 为了得到坐标系Oy中的方程，只须将移轴公式 =a-0,y=9-40, 代入上面方程，就得 y-0=a(-ro)2, (3) 这就是顶点在(xo,o),对称轴平行于y轴的抛物线方程. 把方程(3)右端平方项展开得 y=ax2-2axox+ax+yo, 这里-2aa0,a喝+yo都是常数，记-2a=b,a+o=c, —206一 ==========第212页========== 则得 y=ax2+60+c. 反之，对于方程 y=aa2+b+c(a≠0)， 将右边配方，得到 y-(e+a广+(。-)， 即 g-(e-)(e+品， 与方程(3)比较，可知y=a2+bx+c是一条对称轴平行于y轴 的抛物线它的顶点(-多，。-)对称轴为如=2a [例5]在坐标系Oy中，已知抛物线的顶点为(2,3)，焦点坐标为(2,4)，求抛物线方程. 解：抛物线顶点与焦点的连线为c=2,即抛物线的对称轴是平行于y轴的直线x=2,顶点在(2：3).由式(3)，这抛物线的方程有如下形式： y-3=a(-2)2, 其中a待定. 焦点到顶点的距离为如，即 4-3=1 4a 由此得到。=子，从而抛物线的方程为 y-3-7e-29 即 y-ー+4。 -207 ==========第213页========== [例6们求抛物线y=-号a 的顶点，焦点和 对称轴，并作出它的图形 解：首先将等式右边配方，得 y=2@-221 即 可见，它的顺点为2，-)，对称轴为”=2，因为顶点到 焦点距离为女=司，又抛物线开口向下，所以焦点为 F2,-1.它的图形是一条以(2，-)为顶点、对称轴平行 于y轴且开口向下的抛物线（图6-11）. 0 图6-11 五、用待定系数法求抛物线方程 在实际问题中，往往要求抛物线通过某些已知点，或更一般地要求抛物线具有某些几何特性.这样，为了得到抛物线 -208- ==========第214页========== 的方程，我们通常采用待定系数法.下面举几个例子 [例7]已知抛物线的对称轴平行于y轴，顶点在(4,3)，以及抛物线上一点(5,7)，求它的方程 解：因为抛物线的对称轴平行于y轴，顶点在(4,3)，因此它的方程可以写为 yー3=a (x-4)2, 其中a为待定系数，它可以根据抛物线通过已知点(5，T)这 一条件来确定. 因为点（⑤，7）在抛物线上，所以它应该满足抛物线方程，于是 7-3=(5-4)2, 解得 a=4, 这样，我们得到所求方程为 y-3=4(a-4)8, 即 y=4x2-32x+67. [例8]已知抛物线的对称轴平行于y轴，以及抛物线 上三点A(一3，-2)，B(-1,-4)和C(1,2),求抛物线的 方程. 解：因为抛物线的对称轴平行于y轴，所以它的方程可写为 y=a2+bc十C, 其中a,b,c为三个待定系数.由于A,B,C三点在抛物线 上，所以它们的坐标应满足上面方程.将A,B,C的坐标分 别代入方程，得到关于a,b,c的一个三元一次方程组 -2=9a-36+c, -209一 ==========第215页========== -4=a-b十C, 2=a+b+c. 解这方程组得a=1,b=3,c=-2.从而得到抛物线的方程为 y=2+3-2. 小结 1.到一定点和到一定直线的距离相等的动点的轨迹称为抛物线，这定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线. 2.方程 y=ax2 称为抛物线的标准方程.它表示以原点为顶点，以y轴为对称轴，焦点在F0,a)的抛物线.当a>0时抛物线开口向上，当a<0时开口向下，a愈大开口愈窄. 3.方程 x=ay2 也是抛物线的标准方程，它所表示的抛物线，顶点在坐标原 点，焦点(，0)在对称轴x轴上. 4.抛物线y=a2在其上一点Mo(co,yo)处的切线斜率为=2ao,切线方程为 y+4o=2axox. 5.过抛物线上一点并与抛物线在该点的切线垂直的直线称为抛物线的法线，法线平分该点焦径与平行于对称轴的直线所夹的角（焦径是曲线上的点与焦点所连线段）. 6.抛物线的光学性质：由放置在抛物线焦点处的点光源 -210- ==========第216页========== 发出的光线经抛物线反射后成为一束和抛物线对称轴平行的光线. 7.二次三项式 y=aw2+b+c(a≠0) b 表示一条抛物线，它的对称轴是平行于轴的直线=一 2a’ 它的顶点坐标为（一 习 题 1.已知抛物线的焦点F和准线1，求它的方程： (1)F(0,4),:y=-2;(2)F(4,0),1:x=-2; (3)F(2,-6),1y=-4;(4)F(-2,-3),1:x=1. 2.求下列抛物线的焦点： 四y=g 3 (2)=ー (3)3x=-5y; (4)3x=-5y. 3.求下列抛物线的对称轴、顶点，并作出图形： (2)8y=x: (3)y2=2; (4)y2=-4; (6)2y2=一2x; (6)x=2y2. 4.比较下列各组抛物线开口的宽窄： (1)y=3x2 与y=4x2: (2)y=32与y=ー4a3; (3)2x2=-3y与3x2=-2y. 5.求以原点为顶点并满足下列条件的抛物线方程，画出它们的图形： (1)以x轴为对称轴，焦点在(1,0)：(②)以y轴为对称轴，焦点在(0,1). 6.求抛物线护=16x在点(1,4)的切线方程. 7.求经过点(0，一1)且与抛物线2=4y相切的直线方程. ー21一 ==========第217页========== 8,工地上照明灯的反射镜面是抛物面，生成这抛物面的抛物线方程为 y=60x, 问灯泡应装在什么位置，才能使照明灯发出一束平行光线？ 9.已知抛物线的对称轴平行于y轴，其顶点在(1，一2)，焦点在(1，2),求抛物线方程 10.已知抛物线的对称轴平行于x轴，其顶点在(3,2)，焦点在(0，)， 求抛物线方程 11.画出下列抛物线的图形，并指出它们的顶点和对称轴： (1)y=x2-3x-2; (2)y=1-2x-3x2; (3)x司2+测+： ④8子-2到+1. 12.鱼腹式吊车梁下部做成抛物线形状，已知AB=6米，OC=0.7米， 求抛物线方程 0 (第12题) 13.探照灯灯口直径为80厘米，深度为10厘米，问灯泡应装在什么位置上？ 14.已知抛物线的对称轴平行于y轴，抛物线上三个点的坐标为 (-2,13),(2,5)和(3,8)，求抛物线的方程. 15.已知抛物线的对称轴平行于x轴，抛物线上三个点的坐标为 (-5,0),(-3,一1)和(-11,1)，求抛物线的方程. 第二节椭 圆 一、椭圆的定义和标准方程 椭圆是我们很熟悉的图形，例如载油车上贮油筒（图6-12） 一212— ==========第218页========== 的截口，人造地球卫星运行的轨道，某些机械零件的外形等都是椭圆.又如一个平面和圆柱面斜交时的截口也是一个椭圆.工人师傅为了在钢板上画椭圆，常采用下述方法：在解板上取定两点，拿一条定长的绳子，将它的两端固定在所取定的两点上，用笔尖把绳子拉紧慢慢移动，笔尖就在钢板上画出一个椭圆（图6-13）.“理论的基础是实践，又转过来为实践服务。”上述作法正是椭圆概念的实践基础.据此我们给出椭圆的定义如下： 图6-12 图6-13 定义到两定点的距离之和等于定长的动点的轨迹称为椭圆，这两定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为焦距 M(x,y) 下面推导椭圆的方程 F2(c,0) 如图6-14所示，以 经过焦点F1和F2的直 线为心轴，线段FFg的垂直平分线为y轴建立 图614 ー213 ==========第219页========== 直角坐标系 记两焦点间的距离为2C(c>0),即 F1F2=2C, 那末两焦点的坐标为F(一c,O),F2(c,O).根据椭圆的定义，椭圆上任一点M(c,y)到两焦点F和F2的距离之和为定长，记为2a(a>0),则有 MF1+MF2=2a, 因为 MF1=√(ac+C)2十y2，MF2=N/(-C)2+y,所以 √(e+C2+y2+N(c-c)2+y2=2a. 把上式左边第.二个根式移到右边，然后两边平方得 (x+0)3+y2=4a2-4a√/(c-c)2+y2+(c-c)2+y2,整理得 ca-a2=-a/(a-c)2+q 再把等式两边平方，合并同类项得 (a2-c2)x2+a222=a2(a2-c2). 因为三角形两边之和大于第三边：MF1十MF2>F1F2,即 2a>2c,于是a2-c2>0,记 a2-c2=b2, 上式就成为 b22+a2y2=a2b2, 即 +-1a>b>0. (4) 可以验证，坐标满上述方程的点必定在椭圆上，所以式(4)是椭圆的力程，称为椭圆的标准方程 --24 ==========第220页========== 方程(4)所表示的椭圆，它上面的点到两焦点的距离之和为定长2a,焦点在轴上，坐标分别为（一c,0)和(c,0),其中 c=/a3-b3. 二、椭圆的图形 我们根据标准方程(4)来讨论椭圆的几何性质. 1.对称性 椭圆的标准方程中心，y都以平方项出现，因此式(4)所表示的椭圆既关于y轴对称，又关于您轴对称，即心轴和y轴都是这椭圆的对称轴.同时，这椭圆也关于原点中心对称.我们把椭圆的对称中心称为椭圆的中心 2.顶点与长短轴 椭圆与对称轴的交点称为椭圆的顶点， 在标准方程(4)中令x=0,得y=士，即这椭圆在y轴上的顶点为B1(0,一b)和B2(0,b).同样，这椭圆在轴上的顶点为A:(-a,0)和A2(a,0). 线段41Ag的长等于2a,线段B1B2的长等于2b,由于b2=a2-c2,所以>b,因此称11A2为椭圆的长轴，BB2为椭圆的短轴，α为长半轴，b为短半轴.焦点在长轴上. 从方们有に8，ッーまNa- 因此c≤a,y≤b.这说明，椭圆的图形限制在边长为2a和2b的一个矩形之中 根据上面的讨论，再描出几个点，就可画出方程(4)的椭圆图形，如图6-15所示 类似地，我们可以得到中心在原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程 215 ==========第221页========== B2 6 A 0 0 F B 图6-15 心3 B2￥y°=1(a>b>0), [例1]已知椭圆方程为 25x2+162y2=400, 作出它的图形，并求出焦点坐标 解：把所给方程化为标准形式 茶+常-1，w 由此可知，这椭圆的对称轴为坐标轴，中心为原点，顶点在 e (-4,0),(4,0),(0,-5),(0,5) 9 处. A2 运用描点法作出椭圆在第I 象限的图形，然后利用对称性，就可画出整个椭圆的图形图6-16). 这椭圆的焦点在y轴上，长半 令 轴a=5,短半轴b=4,c=√aa-b F =3,所以焦点坐标为F1(0,一3) 和F(0,3). [例2]我国第一颗人造地 图6-16 —216-- ==========第222页========== 球卫星的运行轨道是一个椭圆，这椭圆有一个焦点在地球的中心，卫星的近地点距地球表面439公里，远地点距地球表面2384公里（卫星轨道上离地球最近和最远的点分别称为近地点和远地点).地球半径为6378公里，求卫星的轨道方程 解：如图6-17，设F是 地球中心，A为近地点，A' 为远地点.以直线A'A为x 图6-17 轴，线段A'A的垂直平分线为y轴，建立坐标系. 近地点和远地点到地心的距离分别为 AF=439+6378=6S17(公里)， A'F=2384+6378=8762(公里)， 所以 Q=AF+A'F6817+8762 2 =7789.5, c=0A-FA=7789.5-6817=972.5,b=/a2-c=7728, 于是，卫星运行的轨道方程为 2 7789.52+77283=1. [例3]在图6-18中，椭圆的两条对称轴分别平行于坐标轴，且A1A2=6,B1Bg=4,椭圆中心为O(4,3),求椭圆在坐标系y中的方程， 解：这里，椭圆的对称轴不是坐标轴，而是平行于坐标轴 ー217- ==========第223页========== B B1 图6-18 的两条直线.为了利用椭圆的标准方程，我们作移轴变换，将坐标系Og的原点平移到O'点，得到坐标系0'x'y(图6-18).显然，椭圆在O'x'y中的方程为 33メ 2281. 把移轴公式 x'=-4,y=y-3 代入上面方程，即得椭圆在Oy中的方程 也=4)2+.g-3)”=1, 9 4 展开并化简得 4x2+9y2-32c-54y+109=0. 一般地，中心在(，yo),对称轴平行于坐标轴的椭圆方程有如下形式： (-2+=)2-1. a2 62 (6) [例4幻已知椭圆方程为 心2-4x+22-4+2=0, 试画出它的图形。 解：所给方程与例3所得方程形式一样，为了作图，我们 一2|8-- ==========第224页========== 把它化为（δ）的形式.先配方得 (x-2)2+2(y-1)8=4, 两边除以4，得+ (W2)▣=1. 由此可见，椭圆的中心为(2,1)，长、短轴分别平行于c轴和y轴，且长半轴a=2,短半轴b=√2，据此可以作出它的图形如图6-19. 3=2 -=1 2,1) 图6-19 小 结 1.到两定点的距离之和等于定长的动点的轨迹称为椭圆，这两定点称为椭圆的焦点. 2.方程 2 2+y9=1(a>b>0 是椭圆的标准方程.它的图形以原点为中心；以坐标轴为对称轴，顶点为A1(-a,0),A(a,0),B10,一b),B(0,b)；长半轴a,短半轴b;两焦点在心轴上，其坐标为F(一c,0),F(c,0), 2|9 ==========第225页========== 其中c=√a2-b3, 方程 +g-12 (a>b>0) 也是椭圆的标准方程，但它的焦点在y轴上，坐标为F1(0, -c),F2(0,c). 3,方程 w）2+g=2-1 a2 62 表示一个中心在(，o),对称轴平行于坐标轴的椭圆. 习 题 1.已知两个定点间的距离为8，动点到这两个定点的距离之和为10，取适当的坐标系，求动点轨迹的方程 2,画出下列椭圆的图形，并求焦点与顶点坐标： 41; (2)x,91; ()品+끓一 (④+2=1.2564 3.求中心在原点，长轴为50，短轴为30，焦点在x轴上的椭圆的方程. 4.我国第二颗人造地球卫星运行的轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，远地点离地球表面1826公里，近地点离地球表面266公里，地球半径约为6378公里，求卫星的轨道方程，并画出其大致图形. 5.彗星“紫金山一号”是我国紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦，点的椭圆.测得彗星的近日点和远日点到太阳的距 离分别为1.4S6天文单位和5.563天文单位.写出彗星的轨道方 程(1天文单位=：1.5亿公里) 6.作出下列椭圆的图形，并写出焦点与顶，点坐标： (1）x=1)+g+102=1;a)x=1）2+g+1)2=1 16 9 4 ー220 ==========第226页========== 7、设椭圆中心在（√5,0），焦点在x轴上，长轴为8，焦距为6，求椭圆的方程 8.作出下列椭圆的图形： (1)x2+2x+2y-8y+8=0; (2)2x2+8x+7y°-14y+1=0. 第三节双曲线 一、双曲线的定义和标准方程 上节我们讨论了到两定点的距离之和等于定长的动点的轨迹一椭圆，这一·节我们来讨论到两定点的距离之差等于定长的动点的轨迹 定义到两定点的距离之差等于定长的动点的轨迹称为双曲线，这两定点称为双曲线的焦点 双曲线在实践中也有广泛的应用，例如，涡轮喷气发动机中压气机的超音速叶片的型面常应用双曲线，飞机和轮船的无线电导航系统要利用求双曲线交点的办法来定位 现在来推导双曲线的方 B2 程. 与椭圆的情形相同，以经 过焦点F1和F2的直线为 轴，线段F:Fg的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（图6-20). 图6-20 记双曲线两焦点间距离为2c(c>0),那末焦点坐标为 F(-c,O),F(C,0).根据定义，双曲线上任一点M(x,y) 一22|- ==========第227页========== 到两焦点F1,F2的距离之差为定长，记为2a(a>0),则 MF1-MFg=±2a. 当MF1>MF2时，MF1-MF2=2a,这表示点M在y轴的右边；当MF10,记 c2-2=b2, 上式就成为 b2x2-a2y2=a2b2, 即 a-0=1(a>0,6>0).y2 (6) 可以验证，坐标满足(6)的点必在双曲线上，所以(6)是双曲线的方程，称为双曲线的标准方程 方程(6)所表示的双曲线，它上面的点到两焦点的距离之差为2a,焦点在c轴上，它们的坐标分别为（一c,0)和(C,0),其中c=√a2+b2 二、双曲线的图形 我们根据标准方程(6)来讨论双曲线的几何性质.222- ==========第228页========== 1.对称性 双曲线的标准方程(6)只含有心，y的平方项，因此这双曲线关于坐标轴和坐标原点对称，即它的对称轴为轴和y轴，对称中心为原点.我们把双曲线的对称中心称为双曲线的中心 2.顶点与虚、实轴 双曲线与对称轴的交点称为双曲线的顶点. 在(6)中令y=0,得x=士，故双曲线在轴上的顶点为A1(一a,0)和A2(a,0).但在方程(6)中令心=0时，解不出实根，因此双曲线与y轴不相交， 连接双曲线两顶点的线段A1A2称为实轴，它的长等于 2,与双曲线不相交的对称轴上两点B1(0,一b)和B(0,b)所连线段B1B2称为虚轴，它的长等于2b；a为实半轴，b为虚半轴 将方程(6)变形，解出y,我们有 y=±名2- 0 从此看出，在(6)式所表示的双曲线上，y可以取任何实数值，但c的值必须适合x≥a.这就是说，如果过A1,A2画两条平行于y轴的直线，则双曲线的图形就不能处在这两条直线所夹的范围之中，因此，双曲线由互相隔开的两支组成.随着|x的无限增大，y也无限增大，所以双曲线的两支都是无限伸展的. 根据上面的讨论，描出一些点，就可以画出双曲线的图形如图6-21. 3.渐近线 上面说过，当无限增大时，双曲线在x轴的两侧无限 —223 ==========第229页========== N亿，Yg M(x,y) B2 A2 0 2 a 图6-21 伸展，现在来研究它的伸展趋势 由于对称性，可以先在第I象限讨论.这时由方程(6)得 当中无限增大时，-罗趋近于1，这就启发我们把双曲线 在第I象限内的部分与直线 g= a 进行比较（图6-21）.为此，考虑该直线和双曲线上具有同一横坐标的点V(,Y)和M(c,),它们之间的距离为 MN-Y-y. 由于M点在双曲线上，g-名√-，而N点在宜线上，上-合因此 -224- ==========第230页========== MN-bo-bva-b(o-Va-a)=b.(（a-√3-a2)(ac+√2-a) 0+Nx2一a4 a2 c+√/x8-a2 ab +√2-a 当横坐标无限增大时，上式中分母也无限增大，但分子为常数ab,所以分数值MW趋近于0，即双曲线越来越接近于直线，但永不相交. 利用对称性可以得知其他象限的情况.总之，当x无限增大时，双曲线-茶=1与直线g名，y=一合女无 限接近但不相交，我们称这两条直线为双曲线的渐近线， 上面讨论的是焦点在轴上的双曲线.类似地，我们可以导出中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 -茶+g-1e>0,b>0. [例1]分别画出下列方程的图形： -号=1与军-号=-14 解：方程 2y=1 49 表示实轴在心轴上，虚轴在y轴上，且实半轴α=2，虚半轴b=3的双曲线.它的顶点为A1(一2,0)，A(2,0),渐近线为 3 y=土豆. -225- ==========第231页========== 在坐标系中作出以直线=一2，心=2和y一3，则=3为边的矩形，其对角线所在的直线就是渐近线，据此可以作出所给双曲线的图形如图6-22所示. 为 Ba B. 图6-22 图6-23 方程 23 9-1 即 1， 9 表示实轴在y轴上，虚轴在x轴上，且实半轴为3，虚半轴为 2的双曲线，它的顶点为A1(0,一3)和A(0,3),渐近线为 3 -士三心，据此可以作出它的图形如图623所示. [例2]双曲线型自然通风塔的通风筒是由双曲线绕其虚轴旋转一周生成的曲面（图6-24），它的最小半径为11.61米，上口半径为13米，下底半径为24.66米，高55米，求在图6-24所示的坐标系中双曲线的方程。 -226一 ==========第232页========== 2 图6-24 解：在图6-24的坐标系中，双曲线的中心在原点，对称轴合于坐标轴，所以它的方程取标准形式 2y2= a2-21. 因顶点A旋转生成的圆，半径最小，所以a=11.61.下面求b. 设B是双曲线上位于通风筒下底上的一点，它的纵坐标 为1，C是双曲线上位于通风简上口上的一点，它的纵坐标 为y2,因为B,C点在双曲线上，所以 24.562 11.612 -1，62 132 11.612- =1, b2 解得 1=一11.61、/24.56-11.61≈-1864b, b b/132-11.61严≈0.5037b.y=11.61 因为塔高55米，所以y2-y1=55,即 -227一 ==========第233页========== 0.5037b-(-1.864b)=55, 解得 b≈23.23， 所以双曲线方程为 23 2 11.618-23.23=1. 前面我们分别研究了抛物线、椭圆和双曲线，发现它们的标准方程都是二元二次方程.二元二次方程所表示的曲线称为二次曲线.可以证明二次曲线主要是这三种曲线，抛物线、椭圆和双曲线统称为圆锥曲线，因为它们都可以用不经过圆锥顶点的平面去截圆锥面而得到（图6-25）.设圆锥面的半顶角为，截面和圆锥面的轴所夹的角为8，则 ()当6=受时，裁口为圆；(②)当a<0<受时，截口为 a 椭圆； (3)当8=a时，截口为抛物线； 埏药线 (4)当0≤0<α时，截口为双曲线 这里，我们看到了量变引起质变的一个具体事例.由于截面 图6-25 对圆锥的相对位置的变化，引起了截口形状的改变.当角日从 受不断减小到0时，截口的形状也由圆依次转化为椭圆、袍 物线、双曲线.因此我们可以说，抛物线、椭圆和双曲线既是互相区别的，又是互相联系的. --228- ==========第234页========== 小 结 1.到两定点的距离之差等于定长的动点的轨迹称为双曲线，这两定点称为双曲线的焦点. 2.方程 22 e2-9=1(a>0,b>0) 是双曲线的标准方程.它的图形以坐标轴为对称轴，中心在原点，顶点为A1(一a,0)和A(a,0),实轴在轴上，实半轴为a;虚轴在y轴上，虚半轴为b.焦点为F1(一c,0)和 F(6.0),共中-√+，新近线为y-ー음和ーー음 方程 +-1(>0, bs0 也是双曲线的标准方程，但此双曲线的实轴在y轴上. 习 题 1.求下列双曲线的顶点和焦点的坐标以及渐近线的方程，并画出它们的图形： (1)需-盖-1 (2)5x2-5y=121; (3)25w2-141x2=36, 2.求中心在原点而适合下列条件的双曲线方程，并画出它们的图形： (1)焦点在x轴上，焦点间距离为14，顶点间距离为12； (2)实轴在y轴上，且经过(-3,2√7)和(-6V2,-7)两点.3,在建造双曲线型自然通风塔时，要知道塔在各个高度处截圆的半径，在例2中已求出双曲线的方程，试由此计算该塔在高度为处 的截圆半径Y. -229 ==========第235页========== 4.设双曲线的实轴平行于x轴，中心在(x,o),实半轴为，虚半轴 为b,求双柱线的方程 5.已知双曲线的焦点为（一8,2）和(2,2)，又知实半轴为3，虚半轴为4,求它的方程. 6.求下列双曲线的顶，点坐标与渐近线方程，并作图： 9 2=1;(②)g12-g+12- (1)（-12-g+1)2 9 16 (3)x2+2-y+2y=9; (4)-x2+2x+2-4y=12. 复习题 1.总结抛物线、椭圆和双曲线的定义、标准方程和图形特征. 2。求抛物线y=12z与鞘圆雾+%-1的交点。 3.已知抛物线拱桥的跨度AB为52米，高度为6.5米，在建造时需 要在AB间每隔1米竖立一支柱.试计算图中离AB中点13米处 那根支柱PQ之长 Q P-13 B -52 (第3题) 4.炮弹的轨道为抛物线，已知最大射程为10公里，最大高度为0.2公里，写出炮弹的轨道方程，并求距炮位2公里处炮弹的高度。5,无为何值时，直线则=x与双曲线4x2-y2=16 (1)相交； (②)相切； (3)不相交 6,为何值时，直线y=(1-)tga与双由线-x2+ycos2a=1有唯 一交点（即相切）？并求切点坐标（一受c>0)的距离之比是：，求证点M的轨迹是椭圆。对于双曲线是否有相类似的性质？ 13.证明双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积是常数. +ど 14.()判定方程。+4二石=1当<4时和当1<飞<9时的轨迹 各是什么曲线 (②)证明方程)+号=1所表示的一族曲线有共同的熙点 (k<9,≠4). 23|- ==========第237页========== 第七章极坐标与参数方程 第一节极坐标 前面两章我们讨论曲线，都是在直角坐标系中进行的.直角坐标系是最常用的一种坐标系，但它并不是用来确定平面上点的位置的唯一方法.在某些实际问题中，用这种方法不太方便，例如，炮兵指挥所向炮兵指出射击目标时，最方便的是指出目标的方位角和距离，即利用方向和距离来确定目标的位置.又如，在农村问路时，贫下中农有时这样告诉我们：“朝东南方向走五里路.“朝东南”就指出了目的地的方向，“五里 .3 路”指出了离目的地有多远.“社会实践的继续，使人们在实践中引起感觉和印象的东西反复了多次，于是在人们的脑子里生起了一个认识过程中的突变（即飞跃），产生了概念。”人们总结社会实践中用角度和距离来确定平面上点的位置的经验，产生了极坐标系的概念 一、极坐标系 在平面上取定-点O和从O点发出的一条射线Ox(图7-1),再确定-一个长度单位和计算 n(r,e) 角度的正向（通常取逆时针方向）， 这样就构成了一个极坐标系.0点0∠ 称为极点，射线Oπ称为极轴 图7-1 232- ==========第238页========== I 对于平面上任意-一点M,它的位置可以由OM的长度 和从Oc到OM的角度9完全确定.我们称(，)为点M的极坐标，记作M(r,),?称为点M的极径，9称为点M的极角.由于极径表示长度，所以r≥0. [例1]求极坐标为(2，）和（受，号）的点 解：使极轴Oc绕0 按逆时针方向转④，得到 射线1（图7-2），在？上取 ,) 一点P1,使OP1的长度等 于单位长的2倍，这样， P1就是所求的极坐标为 (2,)的点. 图7-2 ] 同样可求得极坐标为是，)的点P [例2】分别求点M(3,)关于极轴和极点的对称点. 解：设P1(r1,01) 为平面上任意-·点，P1 M(8, ) 关于极轴、极点的对称点依次记为P2(r2,02)、 0 중 P3(r3,03).根据对称性有 r2=r1,0e=-01; ,3,石-) Mi(3,) 3=T1,0:=x+01. 图7-3 已知M1的坐标为(3，)，设M1关于极轴的对称点为 ー233一 ==========第239页========== M2,关于极点的对称点为M3,那么，M2与M3的坐标为 M(3,-)M(3,6x） 必须指出，在极坐标系中，虽然极坐标(？，)唯一地决 定平面上一点M,但反过来，对于平面上每个点M,它的极 坐标表示却有无穷多个：当(”，9)是点M的极坐标时，对于 任何整数n,(m,8+2c)也都是点M的极坐标. 二、曲线的极坐标方程 与在直角坐标系中的情形相同，在极坐标系中，平面上一条曲线可以用含有极坐标？，日的方程来表示，这方程称为曲线的极坐标方程.反过来，含有？，日的方程也表示极坐标系中的一条曲线。下面讨论由曲线求极坐标方程和由极坐标方程画曲线的问题. 1.极坐标方程的建立 建立曲线的极坐标方程的方法和建立直角坐标方程的方法类似，我们通过几个例子来说明， [例3]求以极点为圆心，半径为R的圆的极坐标方程. 解：设圆上动点M的极坐 标为(r,),这圆的特征是动 M(r,) 点M的极径m始终等于R(图 r=R 7-4),即 r=R, 这就是所求圆的极坐标方程. [例4]设1是极轴绕O 图7-4 旋转α角所得的射线，试求1的极坐标方程. 一234- ==========第240页========== 解：这射线的特征是动点M的极角日始终等于心（图 7-5),即 0=a, M(r, の 这就是所求射线的极坐标方程. 这里要注意，上面形式的极坐标方程和类似形式的直角坐 03=a 标方程表示完全不同的曲线.在 图7-5 直角坐标系中，方程心=a和y=b(a,b是常数)分别表示平行于y轴和x轴的直线，而在极坐标系中，方程=R和6= (R,α是常数)则分别表示以极点为圆心的圆和从极点出发 的射线 [例5]求圆心在点C(a,0),半径为a的圆的极坐标方程。 解：由平面几何知道，当M(”,)在所给圆上运动时， ∠OMA始终为一直角（图7-6），因而从直角三角形OMA可 得 M(r,) OM=0A cos0, 即 r=2uc099 0 C(a,0) (-受<0s) 这就是所求圆的方程 图7-6 我们也可以用圆的另一特征：CM=α来导出它的极坐标 方程，得到与上面同样的结果，留给读者作为练习 [例6]圆锥曲线的极坐标方程 在天体力学中，经常用到椭圆、双曲线和抛物线的极坐标方程.现在以椭圆为例，导出它的极坐标方程 --235 ==========第241页========== 取焦点F1为极点，从F:出发过另焦点F的射线为 极轴（图7-7）.设M(,0)为 M(x,) 椭圆上任一点，则根据椭圆的定义，有 MF1十MF:=2a(定长)，从而 MF￥=2a-MF1=2a-r. 图7-7 为了用极坐标表示MF2,我们在△MF:F:中应用余弦 定理，得 (MFg)2=2+(2c)3-2r.2cc090, 其中2c(<2a)是F1和F2之间的距离.两式联立，得 (2a-r)2=r2+4c2-4cmc0s8, 解得 a2-C2 b2 a-ccos a-c cosg' 这就是椭圆的极坐标方程，其中b=√a2一c2是椭圆的短半轴， 同样，对于双曲线，取极坐标系如图7-8所示，可推得其极坐标方程也是 b2 a-ccos0, 但其中b=W√c2-a2(ac>0,放00>0,放e>1.上面的p叫做圆锥曲线的焦参数、从（①可知，当9-受 时，”=p,所以？是从焦点引出的垂直于极轴的极径的长度. e叫做离心率.对于椭圆，01时，它表示双曲线； (4)等速螺线的极坐标方程为 r=a+b0. 以等速螺线作为凸轮的轮廓线，可以将等角速转动变成等速直线运动. 3,直角坐标与极坐标的互换. (1)由极坐标求直角坐标： c=rcos0,y=rsin0; (2)由直角坐标求极坐标： r=a2+g2,tg0=义. 习题 1.在极坐标系中描出下列各点： (1,)M(2,) (3) 245 ==========第251页========== M,(6,号x月 (3,-） 2.在极坐标系中作出下列曲线的图形： (1)?=0(0≤0≤2x); (2) (0≤0≤2x); (8)r=1+9(0≤0≤2x); (4)r=2e9(-2m≤0≤2am); (5)r=1+C0s0(-元≤0≤π). 3.等速螺线过点(0,0)，且极角每增加号弧度，极径就增加15： (1)试求螺线的极坐标方程； (8)算出9=0，晋，中，专，亨，2m,号0所对应的7值：4 5 (③)描出上述的点并作出0≤0≤了m范围内的蝶线图形， 4.半径为R、圈心在：(1(，）处；②(R,m)如；3)(，是x）处，求圆的极坐标方程。5,求下列直线的极坐标方程： 过r(2,）,垂直于极轴；②)过(3，），平行于极轴. 6.从极点作圆r=2 a cos0的弦，求这些弦中点的轨迹的极坐标方程，并说明它的图形是什么曲线 7.求下列各点的直角坐标 M1(2,罗)5 3,日t）5 ,(1,三年)月 (8。 음) (4,-罗） 8。求下列各点的极坐标： M1(1,2);M2(6,8):M3(-1,-2);M4(-1,3);M5(2,-1). 9。化下列曲线的直角坐标方程为极坐标方程： (1)y=V3x; (2)x划=言： (3)x2-y2=a2; (4)x2+(y+3)2=9; (5)x2+y=2a(√x+y-x). -246 ==========第252页========== 10.化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程： (1)rc039=2; (2)r=-4sin0+cos; (3)= cos(-2sin (4)x3=sin20, 11.试按图7-8和图7-9推导双曲线和抛物线的极坐标方程 12.有一凸轮机构如图.设凸轮边缘上点A离轴心0最近，OA=R,点 C B (第12题) B离O最远，OB=R+.凸轮以等角速度ω转动，使从动杆作往 复直线运动.求 (1)从动杆往复运动的速度1和v2; (2)曲线弧ACB和BA的极坐标方程 第二节参数方程 一、曲线的参数方程 前面建立的各类曲线方程，都是曲线上动点坐标，和y(或和9)之间的直接关系式. 在某些实际问题中，动点的轨迹用动点坐标之间的直接 -247- ==========第253页========== 关系式来表示并不方便，或者一下子不容易找到这种直接关系，这时往往借助于第三个变量t,将动点的轨迹用动点坐标x和y(或？和)各自与t的关系式间接地来表达，这是物理学中常用的方法，我们在导出等速螺线的极坐标方程时也应用了这一方法.下面再来看一个例子. 在黄河凌期用飞机轰炸冰坝，以免河水泛滥.为了使炸弹比较准确地击中目标，有必要研究炸弹运动的轨迹 设飞机投掷时是沿水平方向飞行的，取炸弹开始下落时飞机的位置为坐标原点，过原点沿飞机飞行方向的直线为您轴.过原点的铅直线为y轴，正向向下（图7-16）.设经过时间t,炸弹到达位置1(x,y）. 级1i(x,y) 图7-16 这里，要直接建立1的坐标心和y之间的关系是比较因难的，但根据物理知识，心和y各自与时间变量t的关系是容易建立的 炸弹脱离飞机后，它的运动是由水平方向的等速运动和铅直方向的自由落体运动合成的（不计空气阻力）.在水平方向，炸弹作等速运动，其速度与飞机在投掷时的飞行速度相同.设这速度为o,则经过时间t,炸弹沿水平方向移动的 -…248- ==========第254页========== 距离为 x=Vot; 在铅直方向，炸弹在重力作用下，作自由落体运动，经过时间花，炸弹下落的距离为 y=29, 其中9是重力加速度.这样，就得到描写炸弹运动过程的方程（物理上称为运动方程） c=Vot, 1 y=292. (4) 当时间t取某-一数值时，方程组(4)就给出了炸弹在这一时刻所在位置M的坐标.比如，当t=1时，M的坐标为 (0,是9)当t=2时，M的坐标为(20,2g,等等.让从0 起连续增加，M(c,)就从原点起连续变动，从而描出了炸弹运动的轨迹.因此，方程组(4)就给出了所求的轨迹. 象方程组(4)那样，用一个中间变量t来表达曲线上动点坐标心和y的方程组，称为参数方程，七称为参数.这里我们用参数表示动点的直角坐标，得到了曲线在直角坐标系中的参数方程；同样，可以用参数表示动点的极坐标，而得出曲线在极坐标系中的参数方程.平面曲线的参数方程一般要用两个式子来表示 有了参数方程后，通过消去参数就可以求得心和y的直接关系式.例如，对于上述炸弹的运动方程(4)，只要从第一式中解出t,代入第二式，就得到 y=2(八， --249- ==========第255页========== 即 (5) 这就是炸弹运动轨迹的直角坐标方程.由这方程可见，轨迹是抛物线（这也正是抛物线这一名称的由来）. 运动方程(4)比轨迹方程(5)更深刻地描写了炸弹的运动情况.比如，从运动方程(4)可以直接知道炸弹在任一时刻t到达的位置，据此就可解决某些与此有关的问题 [例1]设飞机飞行的高度丑=600米，飞行速度vo=150米/秒，试问： (1)炸弹离开飞机后要经过多少时间才能到达河面？(②)飞机必须在离开目标多远（指水平距离）的地方投掷炸弹才能击中目标？ 解：(1)炸弹从飞机上落到河面时，下落的距离等于飞机飞行的高度，即 从而 2H 1200 9.8≈11（秒）； (2)既然炸弹离开飞机后要经过11秒才能到达河面，那末由￠=ot可知，在这段时间内炸弹沿水平方向运动的距离为 x=150×11=1650(米). 答：(1)炸弹离开飞机后要经过11秒才能到达河面. (2)飞机必须在离开目标1650米（指水平距离）的地方投掷炸弹，才能击中目标. -250-- ==========第256页========== 一股，在用参数方程表示曲线时，选用的参数不一定是时间，可以是其他量，应当根据问题的具体条件来选定。 [例2]求圆心在原点，半 y 径为R的圆的参数方程. 解：设P(心，y)是圆上任 P(a,y) 意点.取∠POA=P为参数 A (图7-17)，则 =Rcoso,y=Rsin o. 这就是所求的圆的参数方程. 图7-17 从上面的参数方程中消去参数，即得圆的标准方程 2+y2=R2. [例3] 2” 求椭圆 =1的参数方程。 解：由于椭圆的标准方程是 (6) 对照三角恒等式 cos2o+sino=1 可知，对任意一个角P,如果令 第=C09p, a 号-sin, 即 花=aC0sp, (7) y=bsinp, 一25— ==========第257页========== 则点(，y）必在椭圆(6)上.且当p从0变到2x时，点(c,y)从点(a,0)出发沿椭圆(6)运动一周，这说明椭圆(6)上的点的坐标都可以用方程组(7)表示，因此方程组(7)是椭圆(6)的参数方程， 利用椭圆的参数方程，可以得到椭圆的一种画法如下：如图7-18，以原点为圆心，分别以a、b为半径作两个同心圆，然 B 图7-18 后从原点出发任作一射线OA与这两同心圆分别交于A、B 两点.过A作y轴的平行线，过B作轴的平行线，它们的交点M(c,y)就是椭圆上一点（事实上，∠AOc就是参数p,而=ac0sp,y=bsino).按这种办法定出椭圆上一系列的点，把这些点连成一条光滑的曲线，就是长半轴、短半轴分别为a、b的椭圆 参数p称为椭圆上点.M(a cos p,bsinp)的离心角.要注 意，它并不是OM和O心的夹角. --252-- ==========第258页========== [例4]证明参数方程 心=x0十入t (入≠0)， y=30+ut 表示一条过点{0,6，斜率为=犬的直线 证：从参数方程中消去t得 y-%失e-0, 它正是过点(，以=失为斜率的直线的点斜式方程. 注意，入=0时上述参数方程给出垂直于轴的直线心=x0. 二、渐开线和摆线 1.渐开线及其参数方程 机械工业中最常用的齿轮的齿廓线，是一种叫做渐开线的曲线.什么是渐开线？在一个固定的圆盘上绕有一条细线，拉住线头，把线从圆盘上渐渐拉出来，并使拉出部分始终沿着与圆盘相切的方向绷紧，这样，线头的轨迹就叫做渐开线(图7-19).根据这模型，我们给出渐开线的定义. 渐开线 (甲) (乙) 图7-19 定义一条直线在一个圆上作无滑动的滚动时，直线上 ー253 ==========第259页========== 一定点运动的轨迹称为渐开线，这圆称为渐开线的基圆，这直线称为渐开线的发生线 下面推导渐开线的参数方程.设基圆半径为T,渐开线 与基圆的交点为A.取基圆圆心O作极点，射线OAo为极轴(图7-20).过曲线上点A(r,)作基圆的切线AB,B是切点，记a=∠B0A,我们就用a作参数 从直角三角形OBA得 B cos a=To 即r与a的关系式为 Tocos a' 图7-20 为求日与“的关系式，我们注意到渐开线的发生线是在圆上作无滑动的滚动，所以 AB=AB=ro(a+0), 其中a和B用弧度表示.但从直角三角形OBA又得 AB=Totg a, 于是 rotga=ro(a+0), 即B与a的关系式为 6=tg a-a. 这样便得到渐开线的极坐标参数方程 C0s&’ (8) 0=tg&-a, 其中o是基圆半径，、8用弧度表示，在机械原理中，α称 -254一 ==========第260页========== 为压力角，日=ga一a称为渐开线函数，有专门的渐开线函数表供设计时查用. 作为练习，读者试推导渐开线在直角坐标系中的参数方程. 2.摆线及其参数方程 在齿轮设计中，有时还要用到另一种曲线一摆线。定义·个动圆在一条定直线上作无滑动的滚动时，圆周上一定点运动的轨迹称为摆线（图721）. y M V) 0 图7-21 例如，车辆沿直线行驶时，轮周上任一点的轨迹都是摆线，所以摆线也叫旋轮线 下面推导摆线的参数方程.设动圆半径为"，取定直线为轴，圆滚动的方向为心轴的正问，建立直角坐标系.设初 始时刻圆上定点利原点重合，当圆从原点滚动到N点时，圆 上定点由原点运动到M(x,y)(图7-21).我们看到，M(c,y) 的位置可以由∠MCN=确定，因而就取P为参数.过M作 MD⊥CN,MQ.⊥O.因动圆在直线上作无滑动的滚动，所以 ON=MN=rop,从而 x=0Q-ON-MD=rog-Tosin p,y=QM=NC-DO=To-rocoso. -255 ==========第261页========== 故得摆线的参数方程为 a=ro(o-sing), (9) y=ro(1-cos). 当圆滚动-一圈，即p由0变到2π时，M点就描出了摆线的第一拱.圆向前再滚一圈时，p从2x变到4，M点描出摆线的第二拱.显然，第二拱的形状和第一拱完全相同.圆继续向前滚动，可得摆线的第三拱，第四拱…，可见摆线具有周期性 由参数方程作图，一般采用描点法.例如作摆线的图形时，每给定一个值，由参数方程算出一组对应的心，y的值，列表如下： 3n 5 3 7 3 0 2 4 公 4 吹 2w 00.08r00.57r01.65r03.1464.6305.71r06.20r06.28m0 0 0.29r0 0 1.71029'u 1.71ro 70 0.29r0 0 以表格中每一组(.)作为坐标，描点，然后把各点连成光滑曲线，即为摆线（图7-21）. 小 结 1.用参数t来表示曲线上动点的坐标x和y,或r和B,而得到的方程组 玉=心(t),y=则(t) 或 r=r(t),0=9(t), 称为曲线的参数方程. 参数可以是时间t,也可以是其他的量，如长度、角度等， -256- ==========第262页========== 应具体分析，适当选取. 2.几种常用曲线的参数方程.直线： x=0+入t,y=yo十ut. 圆： c=Rcoso,y=Rsin o. 椭圆： c=acoso,y=6sin p. 渐开线： r=To 0=tg a-a. cos a 摆线： =ro(p-sin p),y=ro(1-coso), 习 题 1.已知曲线的参数方程是 t 父=之，y=1+学 (1)求曲线上对应于t=0,士2，士4的点的坐标(x,y),并描点作 出曲线； (2)消去参数t,说明它是什么曲线. 2.已知物体的运动方程是 1 x=vot cosa,y=tot sina-9 求运动轨迹的直角坐标方程. 3.写出下列曲线的参数方程： (1)x2+y2=25; (2)需+& (3)(红-2)2+(g-6)2=；4《x-2+y-）” a? =1. 4.已知渐开线方程是 1cos a 0=tga-a, 求曲线上对应于a=0,高，号，后告，哥的点的极经标， 并利用这些点描出渐开线的部分图形. -257- ==========第263页========== 6.求渐开线在直角坐标系下的参数方程（见图）. M(a,y) (第5题) 6.设M(x,y)在圆周x=Rcos p,y=Rsinp上运动，过M作x轴的垂线，交x轴于Q,求MQ的中点P的轨迹的参数方程。 复习题 1.有一凸轮，其边缘离中心最近和最远点的距离是R和R+H,如 果凸轮两段对称曲线使从动杆作往复等速运动，求每段曲线的极坐标方程 2.某自动车床需要这样一个凸轮：凸轮顺时针方向等角速转3°时，从 动杆从最低位置A沿直线等速上升，到达B点；凸轮再转117°时， 从动杆由B点沿直线等速上升，到达最高点C；凸轮再转60°时， 从动杆在最高位置C静止不动；凸轮再转60°时，从动杆沿直线等 速下降到A;凸轮再转120°时，从动杆静止不动，若凸轮轴心到凸 轮边缘最短距离为4.5厘米，AB=0.5厘米，AC=3厘米，试写出 凸轮轮廓各段曲线的极坐标方程，并画出凸轮的轮廓线 3.某等速螺线共有三圈，螺线上距中心最近距离是20厘米，最远距离是35厘米，求这螺线的方程、 4.证明极坐标方程Tcos(6-0)=p表示一条直线，求出该直线与极轴的夹角以及极点到该直线的距离 6.OR是圆r=acos9的弦，延长OR到P使RP=a,当R在圆上移 动时，求P点轨迹的方程，并说明这是一条什么曲线， 258 ==========第264页========== 6.过圆x=5cosp,y=5sinp上的定点(3,4)作圆的弦，求弦中点的 轨迹的方程. 7.消去参数，说明 2xa coSy=btgo 是双曲线的参数方程 8.已知弹道曲线的参数方程为 x=votcosa,.gy=vo sina-号t”, 其中是炮弹的初速度，是炮弹的发射角.()求炮弹从发射到落回地面所需的时间； (2)求炮弹到达的最大高度； (③)求发射角a=号时，弹道曲线的直角坐标方程和射程. 9.一动圆在一定圆上外相切地作无滑动的滚动，动圆上一个定点的轨迹称为外摆线，试选择适当的坐标系，写出外摆线的参数方程。 259 ==========第265页========== 第八章坐标变换与二次曲线 在第五章第一节中我们曾经讲过坐标变换的概念，并就最简单的情形一坐标轴的平移，导出了它的变换式.在处理某些比较复杂的问题时，常常需要使用其他形式的坐标变换.因此，这里我们讨论一般的坐标变换，并把这个讨论与二次曲线的有关问题，如化简、分类、求方程等等结合起来. 第一节坐标变换 点的坐标和曲线的方程是对一个确定的坐标系说的，同 一个点在不同的坐标系中有不同的坐标；同样，同一条曲线在不同的坐标系中也有不同的方程.通过坐标变换，可以化简曲线的方程，以便于讨论 所谓坐标变换公式，是指从一个坐标系变换到另一个坐标系时，平面上同一个点在这两个坐标系中的坐标之间的换算公式.为了叙述方便，我们把变换前的坐标系称为旧坐标系，点在旧坐标系中的坐标称为旧坐标；变换以后的坐标系称为新坐标系，点在新坐标系中的坐标称为新坐标。 一、移轴 在第五章第一节中，我们已经学过坐标轴的平移，导出移轴公式.设坐标系Oc'则是由坐标系Oy移轴得到的，它的原点O'在旧坐标系中的坐标为（α，b),平面上任意点P的 --260 ==========第266页========== 新、旧坐标分别记为(x,y)和(，)，则它们之间有下述换算公式： a=x'+a,y=y+b (1) 或 a'=a-a,y'=y-b. (2) 式(1)和式(2)都称为移轴公式. 二、转 轴 将整个坐标系绕原点旋转一个角度，得到一个新的坐标系，这种变换称为坐标轴的旋转，简称转轴（图8-1). 转轴由坐标轴旋转的角度决定.我们规定按逆时针方向的转角为正. 如图8-1，设坐标 心 系Oxy是由坐标系 Oy转轴得到的，坐标 图8-1 轴旋转的角度为9，平面上任意点P的新、旧坐标分别记为 (,y)和（心，），我们来导出它们之间的换算公式 过P点分别作x轴和心轴的垂线PM和PM'(M,M是垂足)，连接OP,设∠POM'=a,则 '=OP cosa,y'=OP sin a;=OPcos(a+o),y=OPsin(a+o). 利用三角中的和角公式，将后两式展开，再将前两式代入得 一26} ==========第267页========== =OPcosacoso-OP sin asin=a'cos o-y'sin o, y=OPcosasin o+OP sin acosp=a'sin p+y'cos o, 即 myme (3) 为了得到新坐标的表达式，从式(3)解出x,y,得 产必C0sp+ysnp,。 (4) 则=-wsin p+yc0sp. 式(3)和式(4)都称为转轴公式. [例1]将坐标轴旋转，求点P(0,一2)在新坐标系中 的坐标（心，）. 解将ー0ー2，cwの学ー血受代入式(4)得 =-√2，y'=-√2， 所以点P的新坐标为（一√2，-√2）. 我们还可以从另一角度把（③）和(4)统一起来，如果把坐标系Oy看作由坐标系Ox'y旋转一p角得到的话，那末(',y)是旧坐标，(c,y)是新坐标，由式(3)可以得到 a'=cos(-)-ysin(-p)=a cos o+ysin o, y'=asin(-o)+ycos(-p)=-xsnp十yC0sP, 这正是式(4). ー-262 ==========第268页========== 上述对式(3)和式(4的说明，同样适用于移轴公式(1)和(2). 三、一般坐标变换 现在我们考察新坐标系和旧坐标系有任意相对位置的情况，即-一般的坐标变换 设Ox则和Ox'y是平面上两个坐标系，它们的相对位置，由新坐标系的原点O'在旧坐标系中的坐标（α，b)以及c轴到心轴的转角p确定（图8-2）. 为了求得这种一般情况下的坐标变换公式，我们把这种变换看作是分两 c 步完成的：第一步把旧坐 标系O吧平移，使原点移 到O'处，得到一个“过渡 的”坐标系Ox"y‘;第二 图8-2 步把坐标系Ox"y'旋转e角，得到新坐标系O'x'y. 分别以(c,y)、(c',)和(x",y")记平面上任意点M在坐标系Oxy、Ox'则和Ox"y”中的坐标，则由移轴公式得 x=x”+a,y=y”+b, 再由转轴公式得 a"=a'cos o-y'sin p,y"=a'sin o+y'cos o. 把这一变换式代入前面的变换式，得到 ,다} () -263— ==========第269页========== 为了得到新坐标的表达式，从式(5)解出c,y,得， =(x-a)cos+(y-b)sin o, (6) =-(a-a)sin +(y-b)cos p. 式(6)和式(6)都称为一般坐标变换公式， [例2]设新坐标系的原点O'在旧坐标系中的坐标为 (2,0),坐标轴旋转罗，平面上点M的旧坐标(2,2 5√3) 试求它的新坐标(x',). Ma-2,6-0,-ッーw，-32 代入式(6)，得 x=1,y=0, 所以点M的新坐标为(1，O). 四、曲线方程变形举例 对于给定的曲线方程，为了了解这曲线的形状和位置，常常通过适当的坐标变换，使方程变成我们熟知的形式.例如在第六章中，我们曾利用移轴公式，把曲线方程y=a2+bc÷c化成标准形式y=ax2,从而知道它表示一条抛物线.这里我们再举一个运用旋转变换的例子. [例3]把坐标轴旋转平，试求曲线2如y=Q2在新坐标 系中的方程 解，因为o军-血草-由式何)得ー)，ー（α+） -264- ==========第270页========== 把它们代入方程2y=a2,得到 x2-y'2=a2. 上式是双曲线的标准方程，这双曲线的实半轴和虚半轴相等（这种双曲线称为等轴双曲线)，并且容易验证，它的渐近线恰是原来坐标系的两条坐标轴（图8-3）.由此可知，反比函数y=22的图形是以坐标轴为渐近线的等轴双曲线.同时，从这例子中我们看到，利用转轴可以把双曲线方程2y=a2化成标准 图8-3 形式.至于在一般情况下如何利用坐标变换来化简曲线方程的问题，我们留到下节讨论 下面介绍坐标变换的另一个应用 大家知道，如果坐标系选得适当，曲线的方程就比较容 易求得（例如，在以对称轴为坐标轴的坐标系中，椭圆的方程 为二+-1).因此，为求出简线在某个给定的坐标系中 的方程，我们往往先选一个适当的坐标系，求出曲线在这个坐标系中的方程，再利用坐标变换公式导出曲线在原来坐标系中的方程 [例4幻已知椭圆的长、短半轴分别为a=4,b=3,中心 为0(0,0)，短轴的倾角为至，试求这椭圆的方程. ー265 ==========第271页========== 解：以椭圆的对称轴为坐标轴建立坐标系Ox'y,且设短轴在心轴上（图8-4），则在坐标系Ox'y中椭圆的方程为 c'? 9メ 61. 因为x轴到x轴的转角为平，所以由Oy到 Ox'y的坐标变换公式为 2+g2 2 y=-c2 2 2 代入上面椭圆的方程，得 图8-4 (a+号+(-+·능-1 化简得 25x2+14y+25y2-288=0, 这就是所求椭圆的方程.[例5]已知抛物线 3 的对称轴为心十y+1=0, ly" 顶点为0'(0，-1)，且抛物线过原点(0,0).试求抛物线的方程. 解：如图8-5建立新坐标系O'x'y,它的原点为0(0，-1)，轴为直线x+y+1=0.容易验 图8-5 ー266 ==========第272页========== 证，y轴的倾角为是，所以父轴的倾角为空于是，由O测 到O'则的坐标变换公式为 =+g+, y-ー：++1)2 根据题意，抛物线在坐标系O''y中的方程可设为 y=ax'2, 其中a是待定常数，抛物线过点O,以0的新坐标(， Y)代入上面方程，得 2=a、，即a=√2. 所以抛物线在Oxy中的方程为 y'=√2x2 以上面坐标变换公式代入，得到抛物线在原坐标系中的方程 (に+1)-√a+y+1), 化简得 x2+y2+2y+3x+y=0, 这就是所求抛物线的方程. 第二节二次曲线 我们知道，椭圆、双曲线和抛物线的标准方程都是坐标￠、y的二次方程，根据标准方程，可以立即确定曲线的形状和位置.现在考虑相反的问题：一般二次方程表示怎样的曲线， 一267- ==========第273页========== 如何确定二次方程所表示的曲线的类型、形状和位置.本节将以坐标变换为工具，解决这些问题 在平面直角坐标系中，二元二次方程 Ax2+2Bay+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 (7 所表示的曲线称为二次曲线，方程（⑦）称为二次曲线的一般方程. 一、二次曲线一般方程的化简 为了确定二次方程所表示的曲线，我们利用坐标变换，先把方程化简.化简分两步进行.第一步是作适当的转轴变换，消去方程(7)中的交叉项2By,使它变成下面的形式： A'x2+C'y3+2Dx+2E则+F'=0, (8) 第二步是作移轴变换，消去一次项或常数项， 为了用转轴变换消去交叉项，设待求的旋转角为P,那末， a=a'cos o-y'sin p,y=a'sin p+y'cos 代入方程(7)，得 A('cosp-则sinp)2 +2B(a'cos o-y'sin p)(a'sin p++y'cos(a'sin +y'cos )3+2D(x'cos o-y'sin+2E(a'sin +y'cos)+F=0,合并同类项，得 (A cos2+2Bsin o cos +Csin2) +2[(C-A)sin ocos o+B(cos2o-sin2 o)]a'y'+(Asin2-2B sin o cos +C cos2)y+2(Dcosp+Esin p)a' +2(-Dsin o+E coso)y'+F=0. (9) 268- ==========第274页========== 要使上式变成形如(8)的方程，应选择p,使交叉项心'则的系数为零，即9应满足 (C-A)sin o coso+B(cos2p-sin2)=0, 整理得 eg2p-420. (10) 这就是说，只要以式(10)决定的g角作转轴变换，就可消去方程(7)中的交叉项，使它变为形如(8)的方程 为进一步化简方程（⑧），可以通过配方，作适当的移轴变换 [例1]化简方程 x2+4xy+4y2-20x+10y-50=0, 说明它的图形是什么曲线. 解：先消去交叉项.按式(10)，旋转角p应满足 ctg2=AC-1-4-3 2B 2×2-4· 由三角知识，当选取-受<20<0时，有 c0820=3 sin =-v1-cos22=√5 2 5, C09p=1+c082p-2√5 2 5 所以，转轴公式为 y=后(-+2划0， …269 ==========第275页========== 代入原方程，得到在坐标系Ox'y中的方程 号(2x+)2+普2x+9)(-x+2y)+号(-g1+22 302x+0+号(-+2)-0-0， 化简得 5y2-10/5x'-50=0, 即 +V6-g. 再作移轴变换 心"='+√5，"=则， 方程化简为 10". 这是抛物线的标准方程，所以所给方程的图形是抛物线。 [例2]化简方程 5ax+12xy-22-12y-19=0, 说明它的图形是什么曲线. 解：先消去交叉项.按式(10)，旋转角应满足 oig 29=4-05 2B12 取0<20<受，则 5 2 c0s2p=i3,sinp=、cos p-所以，转轴公式为 hg())√/13 270 ==========第276页========== 代入原方程，得到在坐标系Ox'y中的方程 点3d-212+号8w-22a'+3022(3ad -2y)-1름(2'+8)-19=0,13 /13 整理得 1172-52y2-90/13x'+8/13y-247=0, 配方得 1-”-g-成°-468=0 再作移轴变换 2”='5 13' =1 /1 则在坐标系0"心'则'中方程为 117x2-52y"2-468=0, 即 4 -g"2=1. 9 因此，所给方程的图形为双曲线，它的实半轴和虚半轴分别是2和3. 坐标系O'心'y'的顶点O'在坐标系Ox'y中的坐标为 (、5品》在0ay中的堡标则为 x=1152\ i√)-1， 1/1031 =/13/13'/1/=1, '轴平行于轴，所以心轴到x”轴的转角即为p,由此容易作出坐标系O'x"y'和所给方程的图形，留给读者自己来作. ー21ー ==========第277页========== I例3]化简方程 12x2-4y2-12x-8y-1=0 解：因为方程没有交叉项，我们可以直接用移轴变换把它化简.配方得 2(-》-4(+1)2=0, 作移轴变换 =1 2y=y+1, 则原方程化简为 3x-y2=0, 即 √3x'-y=0, √3x+y=0, 因此它的图形是两条过新坐标系原点的相交直线 在本例中，我们可以不通过移轴变换，对原方程右端进行因式分解，直接得到这两条直线在坐标系Oy中的方程 √8r-y-8-1=0, 2 √3x+y +1-0 二、二次曲线的分类 从上面一些例子中我们看到，有的二次曲线是椭圆，有的是双曲线或抛物线，也有的是两条直线。那末，二次曲线到底有哪些类型呢？下面我们就来讨论这个问题. 因为任何一个二元二次方程通过适当的转轴变换，都可以使它不含交叉项，所以，在讨论二次曲线的分类时，我们可 -272 ==========第278页========== 以从没有交叉项的二次方程出发，即设方程为 A'x2+Cy2+2D'+2E'y+F=0. (8) 下面分几种情况来讨论. 1.A'和0都不为0 这时上面方程经配方可写成 4(e++c(y+)+--器-0. 作移轴变换 a"-a+D=ッ+ , 并设-”-2-，侧方程变为 A'x"2+C'则3+F'=0. (11) (1)如果A'和C心”符号相同，则 当A'、C与'的符号相反时，方程(11)表示椭圆 大、9m=1; A 当'=0时，方程(11)的图形退缩成一点； 当A'、C”与F”的符号相同时，方程(11)不表示任何实 的曲线. 这种类型的曲线称为椭圆型曲线. (2)如果A'和C”符号相反，则 当F'≠0时，方程(11)表示双曲线 c13 PI-Fm=1; A O 当'=0时，方程(11)表示两条相交直线： -273 ==========第279页========== /Ax"+√TCTy"=0, /TAT'-/y”=0. 这种类型的曲线称为双曲型曲线 2.A'和C”中有一个为0 不妨设A'≠0，C一0，方程为 A'x2+2D''+2Ey+F=0. (1)如果E≠0，则方程为 222、D-A' 2E, 它表示抛物线. (2)如果=0，方程为 A'x3+2D'x'+F=0, 配方得 4(e++--0 (12) 当A'和F-D符号相反时，方程(12)表示平行于y轴的两条直线 '+D+vD8-A'-0, '+ DA'F A- -=0 ”°-0时，方程(12)表示平行于轴的两条重 当F、D9 合的直线 '+D'r0 一274一 ==========第280页========== 当A'和Fm一D符号相同时，方程(12)不表示任何实的曲线 这种类型的曲线称为抛物型曲线综上所述，可得下面的结论. 二次曲线有三种类型： (①)椭圆型曲线——椭圆、一点或没有轨迹； (2)双曲型曲线一双曲线或两条相交直线； (3)抛物型曲线一一抛物线、两条平行直线、两条重合直线或没有轨迹. 它们的方程，可通过适当的坐标变换，化成在新坐标系中的最简形式 三、二次曲线类型的判定 现在讨论如何根据方程(7)的系数直接判定曲线类型的问题 由上面的讨论可知，曲线的类型由方程（⑧）的系数A'和 有没有一个为零，以及两个都不为零时它们是同号还是反 号来决定，也就是说，由乘积A'”等于零、大于零还是小于 零来决定.但方程（⑧）是一般方程 Ax2+2Bxy+0y2+2Da+2Ey+F=0 (7) 经转轴变换后得到的，为了直接从一般方程判定曲线的类型， 就需要找出A'C”与(7)中系数的关系.将方程(8)与268页 的方程(9)比较，有， A'=A cos2+2Bsin o cos p+C sin2, C'=A sin2-2.B sin p cos ++C cos2o. 为了求出用A、B、C表示A'C”的公式，我们利用恒等式 275- ==========第281页========== 40-[4+-(-0门， 将A'和C”的表达式分别相加和相减，得 A+C=A+C, A'-C=(A-C)cos 20+2Bsin2o. 由于32聊4，所以 ±2B sin2AC)4B ±(A-C) cos 20=√(A-0の+4B (其中符号同时取+号或一号).代入前面式子得 A'-0=士√(A-O3+4B8, 因此 4C-是(4+02-(4-02-4B=40-m. 这样，我们就可以根据AC一B大于、小于或等于零来判 定二次曲线的类型.于是，根据上段的讨论，可概括成下表： 二次曲线：Ax2+2Baxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 图 形 条 件 类 型 一般情形 特殊情形 AC-B2>0 椭圆型 椭 圆 一点或没有轨迹 AC-B2<0 双曲型 双曲线 两条相交直线 AC-B2=0 抛物型 抛物线 两条平行直线、重合直线或者没有轨迹 —276- ==========第282页========== 附带指出，AC一B2是坐标变换下的一个不变量，就是 说，如果方程(7)经过坐标变换后变为 A'3+2Bx'y+C'y2+2D'x'+2Ey+F=0, 那末一定有 AC-B2=A'C-B 事实上，因为移轴不改变二次项系数A、B、C,所以我们 只要看转轴变换的情形就可以了.设Ox'则是由Oay旋转任意一个角度得到的坐标系，Ox"y'是由Oy旋转一个满足式(10)的角度得到的坐标系，则由上面证明的事实，有 AC=AC-B2 A=A'C-B2, 即 AC-B2=A'C'一B3, 这就证明了AC一B2是坐标变换下的不变量. 不变量作为一个与坐标系无关的量，它必然反映图形本身的几何性质，因此，利用不变量研究图形性质正是解析几何中的一个有效方法，我们这里不讲述它.读者可自行验证，两点间的距离、两直线间的夹角都是坐标变换下的不变量. 习 题 1.平移坐标轴，把原点移到O'(一4,5)，求下列各点的新坐标，并画 出新旧坐标轴和各点： A(3,-6); B(7,0); G(-4,5);D(0,-8). 2.把坐标轴绕原点按： (①)逆时针方向转受； (②)顺时针方向转受； (③)逆时针方向转要； (④顺时针方向转等， 求A(2,-3)、B(-1,5)两点的新坐标. 一277 ==========第283页========== 3.利用坐标轴的平移，化简下列二次方程，并作图： (1)y2+8c-16=0; (2)3aw2+2y2-6y-1=0; (3)3x2-6x+y=0; (4)x2-222-4x+2y-1=0. 4.旋转坐标轴，消去下列各方程中的交叉项，并作出新旧坐标轴和图形： (1)3x2-2cy+y2=12; (2)x2+2√/3xy一22=4； (3)17x2-16xy+17y2=225; (4)x2-2ay+2y2+2x+2y=0 5.应用坐标变换，把下列各方程化成最简形式，并作图： (1)14x2+24x2y+21y2-4x+18y-139=0; (2)4xy+3y+16x+12y-36=0: (3)9x2-24y+16y-20x-140y+200=0. 6.判别下列曲线的类型： (1)x2-y2-4x-2y+1=0; (2)5x2+y2-2c+3y-1=0; (3)9x2-6x-4y+29=0; (4)3x2-7cy+5y2+x-3y-3=0, 7.已知椭圆的长轴为10，短轴为8，长轴位于直线x+2=0上，中心在（一2,3），求椭圆的方程，并作出图形8,证明方程 yーa+b(ad-bc#0) ca+d 表示双曲线，求出它的渐近线方程， 9.证明两，点之间的距离、两直线之间的交角在坐标变换下保持不变.10说明坐标变换的作用.移轴的特点是什么？转轴的特点又是什么？ ー278 ==========第284页========== 第九章初等数学应用选编 数学是求解实际问题的一种有效工具.这里收集了用初等数学解决实际问题的部分实例.希望通过这一部分的学习，在灵活掌握数学方法的同时，进·步树立实践的观，点，学好数学为三大革命实践服务. 一、五角星画法 在我国人民的政治生活中，经常要用到五角星.那么，怎样准确地画出一个五角星呢？如图9-1所示，如果道了五角星的中心 U到顶点A的距离，就只要以O为 B 中心，以OA为半径作一个圆，然后 把这个圆五等分，那么所得分点就是这个五角星的五个顶点了.因此问题在于如何把一个圆五等分.这里介绍一种在实践中常用的作法. 图9-1 如图9-2所示，在圆O中画两条互相垂直的直径AA'和 PP',取OP的中点M,以M为中心、MA为半径作弧交 OP于N,然后以AN为半径，从A点开始依次在圆O上截 得B、C、D、E等点，则A、B、C、D、E便是所求五等分点 了. 为了说明这种作法的理由，需要从十等分圆周谈起. ー279 ==========第285页========== E 36 D B 图9-2 图9-3 如图9-3所示，设圆O的半径为？，A、B是两相邻十等 分点，连AB,则AB为圆内接正十边形的一边.易见 ∠40B-360° 10 =36°， ∠0AB=∠0BA-司(180°-36）=72. 如果作∠OBA的平分线BC交OA于C,则△OAB~ △BAC,从而 OA:AB-AB:AC. 但其中OA=”,又记AB=x,因而 AC=0A-0C=0A-AB=r-(OC=CB=AB),代入上式得 r:x=x:（(r一心)， 即 2+rx-8=0, 解得 x=-1±√5 2 由于心=AB总是正的，负值不适合，故 1-V+(- -280— ==========第286页========== 在图9-2中，设圆0半径0A=,则0M=?,从而 MA=√2+(), 于是 NO=NM-OM-MA-OM-2+(豆 2=化， 就是说，NO即为圆的内接正十边形的边长. 又在图9-3中，根据上面的分析，有 OA:AB-AB:AC, 但AB=BC=OC,故 0A:00=0C:CA, 象这样，把一条线段分割成两段，使整段和其中长的一段的比，等于长的一段和短的一段的比，这种分割叫做线段的中外比分割，也叫黄金分割.这样，圆的内接正十边形的边长，就等于圆的半径的中外比分割中较长的一段.这段的长等于 /5- 21r≈0.618， 如果=1，则这段的长约等于 0.618. 18% 在图9-4中，AB是圆内接正十 边形的一边，∠A0B=36°，OH是 ∠AOB的平分线，由直角三角形 B AOH可得 图9-4 in18°=4H=49-√5-1≈0.309. 2r 现在可以说明前面所说五等分圆周的作法的理由了，如 —281一 ==========第287页========== 图9-2所示，只要证明∠40B=360°-72°就行了. 5 记∠AOB=日，则在△OAB中应用余弦定理得 AB2=22-22c096, 但 AB-4N:-04+N0=r2+(5） 所以 cos U=_202一AB2 2B=1-6-5=-1+√54 4 =sin18°=c0s72°， 可见 0=72°. 二、圆形直角弯管的展开图画法 在锅炉、风道、烟道等各种管道中，常要用到各种弯管.制造弯管时，都要画出它的展开图 图9-5中的圆形直角弯管，是由两个斜截成45°角的斜 截圆柱组成的.如图9-6，我们把斜截圆柱沿最短的母线AA1 剪开摊平，就可得到斜截圆柱展开图. 图9-5 ー282 ==========第288页========== 1 图9-6 图9-6中，线段PQ、PP1、QQ1和曲线段P1R1Q1组成 展开图的周界，三根线段的长度为 PP1=QQ1-h,PQ=d, 因此，画展开图的关键是画出曲线段P1RQ1, 现在先讨论曲线P1RQ1的方程，再讨论它的画法， 设MM1是斜截圆柱的另一母线，CC1是圆柱中心轴（图 9-7(甲)，则 AM-GM.aad G 21 で 驻 (甲) (乙) 图9-7 ー283 ==========第289页========== 在截面上，过点11作AC的垂线交1C1于N1,并过 N1作NN⊥AC交AC于N.显然，M1N:与底圆C平行， 因而 MM-NN1, 连结MN,从直角三角形CNM又得 CN-CM.cos a=_d cos a 2 于是，结合图9-7（乙）可得 M M1-NN-NN2+N2N -NN2+AN2=NN2+(CA-ON) =+号(1-608a. 于是，若如图9-8所示的坐标系，由OM及MM1的长度 (图9-8中的OM与图9-7中的AM等长)得到P1R1Q1的参 数方程为 a=ad，gy-+受(1-sa. R P 01 M 图9-8 消去参数α，得到它的直角坐标方程为 =h+号(1-0os0) 求得了P1RQ1的方程，就可用描点法画出它的图形，从 ·284ー ==========第290页========== 而解决了画展开图的问题 在生产实践中，工人师傅采用了如图9-9所示的更直接的画法，其想法是先在展开图中画出在斜截圆柱侧面上等距离分布的一组母线（图9-9中是12根），然后描出整个展开图.画图时，从图9-9中左方开始，先把圆周12等分，然后过每个分点自下向上引虚线，遇到斜截圆柱纵截面图（梯形）上边的斜线后，再自左至右引虚线.另一方面，在图9-9的右方，先画出展开图的底边（长度等于圆周长），然后把它十二等分，并过每个分点自下至上画虚线，与左方过来的对应虚线得到一组交点.把这些交点连成一条光滑的曲线，就得到圆柱侧面的展开图 图9-9 三、正多边形切削的数学原理 随着机械工业的不断发展，某厂加工多边形工件的数量越来越多，现有设备（刨床、铣床等专用机床）远远不能满足生产上的需要.为了适应新的形势，工人同志遵照毛主席“独立自主、自力更生”的教导，发扬了敢想敢干的革命精神，经过反复实践，创造了一种结构简单的多边形切削工具，用这种工具 —285 ==========第291页========== ★ 可以在普通车床上车削各种多边形零件，不但节省了刨床、铣床等专用设备，而且提高了工效五到十倍，为多快好省地加工多边形零件闯出了一条新路 我们先以车削正方形零件为例来说明它的工作原理机床工作情况可见示意图9-10.刀盘夹紧在车头上，和刀盘并列地装着工件，工 No 件的轴平行于刀盘的轴，利用齿轮的传动，使刀盘 刀盘 车头 与工件转动方向相同且转 齿轮1 (24齿) 速比是2：1， 齿轮2 刀盘上装两把方向相 M。的 (24齿) 反的车刀，加工时工件就 齿轮3 被切削成近似的正方形. (48齿) T工件 为了从理论上证明这… 工件卡盘 点，我们来看刀尖在工件 图9-10 上运动的轨迹， 如图9-11所示，设0 为工件的中心位置，A,为 刀盘的中心位置，M。和 M。 N。是刀尖的初始位置，刀 唧 No 盘半径（刀尖至刀盘中心 的距离)为R,且两轴线间 距离OA=R+H.取工 图9-11 件中心O为原点，直线OA,为：轴，建立固定在工件上的直 角坐标系 为了研究刀尖在工件上运动的轨迹，我们把工件和刀盘之间的相对运动看成工件固定不动，而刀盘中心以工件的转 286 ==========第292页========== 速绕工件中心反方向转动，同时刀盘还绕它自己的中心转动 这样，由于刀盘与工件的转速比是2：1，当刀盘中心A0 绕O按逆时针方向转过B角而达到点A时，刀尖M。在刀盘 上沿顺时针方向转过20角，到达M(,y)(图9-12)，现以9 为参数，求M点运动轨迹的方程， M 28 图9-12 由图9-13可见 =00 cos0, y-OAsin0+AM sin0, 而AM=R,OA=R+H,OC=H,所以M点轨迹的参数方 程为 =Hc0s0. y=(2R+H)sin0. -287 ==========第293页========== 消去9得 H+(②R+0产=1. M(,y） 由此可见，刀尖M在工件 上运动的轨迹是一个椭圆，其 长半轴为2R+H,短半轴为 R+H H,长轴在y轴上（图9-14）. B 用同样方法，可以求出刀 图9-13 尖N在工件上运动的轨迹，它也是一个椭圆，其方程为 ~2 (2R+0+=1. 它与M点轨迹的差别仅在于图形转了罗，长轴落在如轴上 (图9-14). 图9-14 从图9-14可以看到，切削后的工件轮廓线CDEF是由 四段椭圆弧组成的，并不是真正的正方形。但是，当刀盘的半 288- ==========第294页========== 径R比起H来很大，即椭圆的长、短半轴之差很大时，这两 个椭圆很扁，这四段弧就很平直，以至于在实用范围内可以看作是正方形， 同样的道理，如果刀盘上装三把刀，彼此夹角120°，那末工件就被切削成近似的正六边形，如图9-15。 图9-15 “在某种意义上来说，最聪明、最有才能的，是最有实践经验的战士。”工人师傅将刀具与工件的转速比，车刀的把数，车刀间的夹角和车刀的长短（不一定都相等），这几个量加以改变，从而就加工出各种复杂形状的多边形零件来 四、三角活塞旋转式发动机的缸体型线 三角活塞旋转式发动机是新型的发动机，它的缸体型线象个“腰子”，活塞型线是一个曲边三角形（图9-16）.我们来讨论缸体的理论型线和实际型线。 289- ==========第295页========== 图9-16 1.红体的理论型线 先分析活塞在缸体内的运动情况. 在这个旋转式发动机中，活塞固定在一个大齿轮上，活塞 的中心O就是大齿轮的中心.在燃料爆发力对活塞的作用下， 这个大齿轮（是个内齿轮）绕着另一个位置固定的小齿轮（是个外齿轮)作啮合运动（相当于一个大圆绕着与它内切的固定 小圆滚动)，而小齿轮的中心O就是缸体型线的中心.活塞 顶点1的运动轨迹在设计中被取作理论型线， 通过以上分析可知，缸体的理论型线，可看作当一个大圆沿着与它内切的固定小圆滚动时，与大圆一起滚动的某一点 M的轨迹. 下面，就从轨迹出发，推导缸体理论型线的方程， 设大圆的圆心为O,半径为R;小圆的圆心为O',半径 为？，动点M到O的距离记为OM=?(动点M随大圆一道 运动). 取固定圆的中心O'为坐标原点，如图9-17建立坐标系. 图中大圆上的点A与O、M在同一直线上，设在开始时刻两 —290- ==========第296页========== M ーー-D a 0 0 图9-17 圆的切点在大圆上是A、小圆上是B,B点在x轴上. 当大圆沿小圆滚动时，两圆连心线OO'也随着转动，记线 段O)'的倾角为，我们取a为参数. 当OO'转动角度a时，两圆切点在大圆上从A移到C,小 圆上从B移到C,所以 AC =BC 于是，若记0A到OC的交角为8，则 Re=ra, 即 从图9-17可见，若M点坐标为(c,y),则 =00'cosa+0M cos B,y=00'sin a+0M sin B, 其中B是直线AM的倾角.因AM为一直线，所以 ー291 ==========第297页========== B=m-0-∠COD▣x-0-(w-a) a-0-a= 于是，缸体的理论型线的方程是 n=(R-roea+loe(Ra, ()sina+lsin) 例如，在实际设计中取R:?=3:2,即取 R=3e,r=2e, 则由 R-r=e, R-Y=1 得缸体的理论型线方程为 a=e cosa+lcos a3y=esina+lsin a 2.红体的实际型线 在缸体的实际设计中，为了减少磨损，三角活塞与缸壁接触的顶端M不是一个尖点，而是一个半径为a的小圆弧.因 此，活塞与缸壁的接触点N是小圆孤上的一点（图9-18），这 个点可看作由M点沿理论型线的法线方向（即与切线垂直的 方向)向外平移一段距离所得，N点的轨迹就是缸体的实 际型线， 大圆绕固定小圆作纯滚动时，两圆的切点位置C不断改 变.在运动的每一瞬间，随大圆运动的点M可看作是绕切点 C转动，即理论型线在M点附近可看作是以C点为圆心、 CM为半径的圆弧，因此CW就是理论型线的法线。 —292 ==========第298页========== B 图9-18 设点N的坐标为(x,y),由图9-18可见， c=x+a cos w,y=y+asinω， 其中w是直线CN的倾角.又从图9-18有 MP COsina+0M sinBtg =CP=COcosa+OM CosB Rsina+lsinB Be sin a+lsin3 Rcosa+1cosB a, Be cosa+lcos3 于是，运用三角公式得 3e608a+lcos号 C09ω=√za+9e2+6ecos2a 3 Besina+lsin3a simω=√a+9e2+6ecog2a -293一 ==========第299页========== 所以，缸体的实际型线的方程是 a(3 e+1cos号) a'=e cosa+lcos++-9e2-+6lecos aalBe sin atlsin) y'esina+lsin 3+√/2+9e2+6 sle cos2a 五、圆孤凸轮 在某些型号的柴油机中，采用了图9-19所示的凸轮机 构，其中凸轮U由几段圆弧光滑连接而成，通过U的转动，平 面挺柱V(底面是个平面)作上下往复运动. M 0 0 P 图9-19 图9-20 设圆弧凸轮的形状如图9-20所示，O1是凸轮的中心，四 段圆弧光滑连接组成凸轮的型线，型线关于直线MQ对称， P、N和它们关于QM的对称点P'、N'是圆弧的连接点. -294 ==========第300页========== 圆弧凸轮U有五个儿何参数：R、R2、R、a、d.凸轮外 形光滑连接的条件表现为：N、O1、O2应在一直线上，P、O3、 O也在一直线上.在△O0O3中应用余弦定理得 00号=0103+010号-20)1020103c0s∠020103，即 (R2-Rg)8=(R-R1)8+(d-R1-R3)2 -2(R2-R1)(d-R1-Rg)c0sa&. 所以，五个参数中只有四个可以演先选择，另外一个必须从上式算出，在一般情况下，R、、a在凸轮设计前就决定了. A 设凸轮按针方向旋转，并设初始时刻挺柱底Lj凸轮 型线的接触点为M. 在凸轮转动过程中， 射线O1M绕O1点按 顺时针方向旋转，设 图9-21 转过角度0后（图9-21），O1与工的距离是8，那末，研究挺 柱的运动规律，就是要寻找s与8之间的关系. 由于凸轮型线关于直线MQ对称，我们先就接触点A分 别落在1N、WP、PQ这三段圆孤上的情形，导出8与0之 间的关系式. (1)接触点A在圆弧MN上. 这时转角0满足0≤B≤x. 如图921，因为L与圆弧相切于点A,所以O1A与L 垂直，于是 8=)1A=R1. -295一 ==========第301页========== (2)接触点A在圆弧NP上. 这时转角0满足α≤0≤B,其中B是接触点A与P点重 合时的转角（图9-23），它的 B 值留到后面再确定 如图9-22，因为L与圆 孤NP相切于点A,所以 工与O2A垂直，又因为N是 两段圆弧MN与NP的连 接点，所以O2、O1与N在一 直线上.过O1作OB⊥L, B为垂足，作0C⊥O2A,C 为垂足，则 图9-22 s=01B=0gA-O2C=02A-O102c09∠N02A,而 02A=R,∠N0gA=∠N01B=9-&, 01Og=R2-R1, 所以 8=R2-(R2-R1)c0g(0-a). 为决定B的值，考虑图 9-23中的△01020.因为这时 接触点A与P点重合，而O2、 O3与P在一直线上，所以 ∠010302=x-B, 又 ∠020103=a, 0102=R2-R1, O2O3=R2-R3, 在△O1003中应用正弦定理 图9-23 -296一 ==========第302页========== 得 sin Bsina R2-R1R2-%’ 由此可以决定B的值. (3)接触点A在圆弧PQ 上. 显然，转角B满足B≤8≤匹. 如图9-24，因为工与圆弧 PQ相切于点A,所以L与OA 垂直，过O1作工的垂线，垂足为 B,过O3作O1B的垂线，垂足为 1 M C,则 图9-24 ∠C010g=m-9. 事 于是 8=01B=03A+01C=03A+0103c09∠C0103=R3+(d-R1-R3)COS(-0)=R3-(d-R1-Rg)cos日. 综上所述，当接触点A在曲线段MWPQ上时，转角B满 足0≤B≤π，8与B的关系为 「B, 0≤0≤&， s={R2-(R2-R1)cos(8-a),ax≤B≤B, Ra-(d-R1-Rg)c0s0,B≤f≤m. 当接触点A在曲线段QP'N'M上时，转角O满足π≤O ≤2m,由图9-25易见，转角为8时的s值恰等于转角为2π一8时的s值，而后者恰是上面已讨论过的情形，于是 当x≤8≤2r一B时，B≤2m-0≤π， -297- ==========第303页========== 图9-25 8=R3-(d-R1-B3)c0g(2x-0)=R3-(d-R1-R3)cos6; 当2m-B≤0≤2r-a时，a≤2r-0≤B, 8=R2-(R2-R1)c0s(2m-0-a)=Rg-(R2-R1)c0s(8+a); 当2r-a≤0≤2x时，0≤2m-0≤a, S=R1. 这样，我们得到转角日与距离s的关系为 R1, 0≤0≤a, R2-(R2-R1)c0g(0-a),a≤0≤B,8={R3-(d-R1-R3)cos9,B≤0≤2m-B, R2-(R2-R1)co8(0+a),2x-B≤0≤2-a, R1, 2x-a≤0≤2r, 其中B由下式决定： R2-B1.sina.sin B-Ra-Rs 六、简单的线性规划问题 在生产实践中，我们经常遇到以下两类问题： --298- ==========第304页========== 1.如何合理安排，用最少量的人力、物力资源，完成既定的任务； 2.如何运用现有人力、物力资源，完成最大量的任务.下面，我们仅就第一类问题讨论两个简单例子及其解法。[例1]甲和乙两地生产某种产品，它们可调出的产品 数量各为300吨和760吨，A、B、C三地需要这种产品的数 量分别为200吨、450吨和400吨.由于地区之间的距离、运输条件不同，运费各有高低，现将这些地区的调出调进数量和它们之间的运费列表如下： 运费 调出数量 (元/吨) 隔进地 A B (吨) 调出地区 甲 6 3 5 300 乙 5 9 6 750 调进数量（吨） 200 450 400 问应取怎样的调运方案，才能使总的运费最省？ 这是上述第一类问题 为制订最好的调运方案，我们先把这个问题“翻译”成数学语言，用数学式子来描写它. 设由甲地调到A、B两地该产品的数量分别为心，y(吨)， 因为甲地调出的总数为300，所以甲地调到C地的数量为 300-(x+y).A地须调进该产品的总数为200，现已由甲地 调进心，所以由乙地调到A地的数量为200一心，同样，由乙 地调到B、C两地的数量分别为450-y和400-(300-一y)=100+x十y. 一299 ==========第305页========== 4 根据上表，总的运费为 f=6x+3y+5(300--y)+5(200-x)+9(450-y)+6(100+x+y)=2x-5y+7150. 因为调运的吨数总是非负的，所以￠，y必须满足下列条件： x≥0，y≥0,300-(c+y)≥0,200-c≥0， 450-y≥0,100+心+y≥0. 如果c+y≤300，≥0成立，必有y≤450；如果≥0，y≥0成立，必有100+心+g≥0，所以上述不等式中实际上只有前 四个是独立的.因此，我们的问题用数学来描述就是：在条件 [+y≤300， ≤200， c≥0，y≥0 下，求￠，则的值，使总运费 f=2x-5g+7160 最小 [例2]某工厂生产A、B两种产品一批，产量分别为 45个和55个：所用的原材料为甲、乙两种规格的某种金属板，每张面积分别为2平方米和3平方米.用甲种规格的金 属板可制成A种产品3个和B种产品5个，用乙种规格的金 属板可制成A、B两种产品各6个. 原 平品 A B 原料面积 料 甲 3 6 2 乙 6 3 产量数 45 55 一300- ==========第306页========== 问甲、乙两种规格的金属板各应取多少张，才能完成生产计划并使总的用料面积最省？ 设甲、乙两种规格的金属板各取：张和y张，则可制成A种产品的数量为3x+6y,B种产品的数量为5心+6y,用料面积为2心十3y(米)，因此问题就成为：在条件 3x+6y≥45， 5x+6y≥55， x≥0，y≥0 下，求心，y的值，使用料面积 f =20+3y 最小 上面两个问题虽然具体内容不同，但其数学形式却是一样的，即在条件 a1c+by≤C1, a2+b则≤Cg, (1) anc+bny≤Cn, x≥0，y≥0 下，求心，y的值，使函数 f=px+g则+Y (2) 取最大值或最小值， 这样的问题称为线性规划问题，它在国民经济各部门中有不少应用，如物资的运输与供应，生产任务的安排，套裁落料等.不等式组(1)称为约束条件，式(2)称为目标函数.在 一般线性规划问题中，变量不止两个，可以是十几个，甚至更多. 对于线性规划问题，数学上是有一般的求解方法的，但这 30}= ==========第307页========== 牵涉到较多的数学知识，这里就不讲了，对这方面有兴趣的读者可参阅有关的书籍.下面我们利用图形和坐标法，借助儿何直观，解决例1和例2中的问题. [例1]在约束条件 :+y≤300， x≤200 x≥0，y≥0 下，求心，y的值，使目标函数 f=2c-5y+7150 取最小值. 解：将约束条件中不等式的不等号换成等号，得到一次方程 花+y=300 和 x=200 在平面直角坐标系中画出它们的图形一一直线。由于x≥0，y≥0，所求的点(x,y) 必在第I象限中；根据约束条 件心+y≤300，这点必位于直线心+y=300的左下方，同理 金十=300 元-200 它必在直线=200的左方.因此所求的点(，y）必定落在 10 四边形0ABC中（图9-26）. 因为目标函数 f=2c-5则+7150 图9-26 关于心，y是一次的，因此目标函数取同一值的点的轨迹是一条直线，例如f=1000时，得到直线 一302- ==========第308页========== 2x-5y+6150=0,随着目标函数∫所取值的变化，得到一族平行 f-5400 的直线 2r-5y÷-1750=0f=5900 2x-5y+7150-f=0 f=6400 (图9-27).f越小，直 j=6900 线的纵截距 号(10-分) 0 图9-27 越大；反之，纵截距越大，目标函数所取的值于就越小.因此我们的 2z-5+1500=0 问题就成为：在四边形 OABC中找一点，使得 上述平行直线族中通过该点的直线具有最大的纵截距.从图9-28中易 0 见，点A正是所要找的， 图9-28 它的坐标为(0,300)，即所求的解为 x=0,y=300. 回到原来的运输问题，我们得到下面的调运方案： 数 量 (吨) 调进她玉 B 调出地区 甲 0 300 0 乙 200 150 400 ー303一 ==========第309页========== 总的运费为 f=7150-5×300=5650(元). [例2]在约束条件 3x+6y≥45， 6x+6y≥55， ≥0，y≥0 下，求x,y的值，使目标函数 f=2+3y 取最小值 解：在平面直角坐标系中，作直线1: 3x+6y=45 和bo 5x+6y=55, 与例1同样讨论可知，满足约束条件的点必在所作两直线右上方的公共部分中，即图9-29中斜线所示的区域中. 05 (5,0) 图9-29 考虑平行直线族 2心+3y一f=0（于作为常数)， 一304- ==========第310页========== 显然，对于纵截距越小的直线，目标函数取值越小.因 此，问题就是：在阴影线所示区域中找一点，使得上述平行直线族中过该点的直线纵截距最小.由于族中直线的斜率kー一号介于ム和的斜率ーー受一音之间从图 9-29易见，1和2的交点A正是要找的点，所求的解即为A 点的坐标.解方程组 3x+6y=45, ix+6y=55, 得 x=y=5. 回到原来的问题，即甲、乙两种规格的金属板各应取5张，这时的用料面积为 f=2×5+3×5=25(米2). 七、优选法 “优选法”是以较少的试验次数，迅速找到生产上合适的配方、合适的工艺操作条件和制作过程的一种方法.它的推广应用，受到各地工农兵群众的欢迎 举例来说，炼钢时要加碳，加得太多则成为生铁，太少了又变成熟铁.那末，每吨钢中要加多少碳，才能使它成为质量合格的钢呢？这就是一个优选法问题.要解决这个问题，就要做试验.譬如根据经验，每吨钢中碳的最佳含量在1000克到2000克之间，如果我们第一次每吨加碳1001克，第二次1002克，…，这样要做一千次才能比较出最佳含量（常称为“好点”).如果采用优选法，就可以大大减少试验次数，经过 十多次试验就可找到好点， -305- ==========第311页========== 1.单因素优选法 我们从研究函数的角度来看刚才提出的问题.每吨钢中的含碳量心和钢的强度y之间存在着函数关系，问题是在事先不知道函数关系的情况下，要通过次数尽可能少的试验，找出使y达到最大值的心.在这个问题中，钢的强度只取决于 一个因素一碳的含量，这类问题称为单因素的优选问题. 一般，单因素优选问题中要找的好点，就是自变量范围中的点（图9-30），它使函数值达到最大（或最小）. 最常见的函数图形是单峰的，即如图9-30所示，起初y随心的增 大而增大，到达曲线上的最高点A 后，y反而随心的增大而减少.单峰函数有这样的特点： 图9-30 设1、2是自变量范围内任意两点，1y,则好点a必落在[0，]中，因而下次试验时可不考虑[c2,门中的点； 图9-31 图9-32 (2)若x1点的试验结果比cg点差，即图9-32中10时： (i)如F与A、C异号，则方程表示椭圆（当A=C时为圆）； (ⅱ)如F与A、C同号，则方程不表示任何曲线； (i)如F=0,则方程表示原点(0,0)； (3)方程可化为 a(-+)+d(u+)+--좋-0， 讨论与(2)类似. 11.x2=12y. 14.(1)当k<4时是椭圆，当4